序：
在之前的博文中，我解释了关于最大流的EK与Dinic算法，以及它们的STL/非STL的实现（其实没什么区别）。本次讲解的是ISAP算法。‘I’，指 improved，也就是说ISAP其实是SAP算法的改进。目前没有官方名称。
经过测试，ISAP的效率在洛谷的板子题中远胜于EK和Dinic的，速度大概是它们的2-3倍。代码量实际上并没有多大变化，在20行读入优化与不压行的情况下（即下文代码），200-210行。（如果压行的话，120行问题不大。不要问我为什么，我空行太多…如果加读入优化的话，再加上15行）
本文给出三种实现方式：递归，非递归，STL，非STL，将ISAP用结构体封装，直接调用函数（每种包含几个，实际上并没有什么差别）。
温馨提示：
在开启O2优化后，vector+queue版的ISAP比数组模拟的要快一点点（10ms?，运行时间均在90-110ms之间）。
如果不开优化，数组模拟比STL版要快2-3倍，达到120-150ms，而STL版是350-400ms（多次提交测试）。
什么级别的考试用什么，这应该很好取舍。
ISAP的思路：
当我们使用Dinic跑最大流的时候，我们多次进行了BFS分层，直到汇点不在残余网络之中。而ISAP则只BFS分层一次（事实上你都甚至可以不进行分层，也就比分层慢一点）。ISAP通过新的方式分层。
对于任意一个节点x，当跑完数次最大流之后，我们发现所有与它相连的节点都不满足level[i]+1 == level[x]了。出现这种情况，Dinic的做法是重新分层，而ISAP的做法是将level[x]置成min(level[i])+1，从而构造出一条可行流。
当然，这是有边界的。我们从汇点开始分层，源点的层数最高是n-1（一条链），所以当level[st] >= n的时候，算法结束，残余网络中一定不存在可行流了。
这种方式也就解释了为什么可以不预先分层。因为这样，分层的工作就留给了每一次推进可行流之中（否则无法找到可行流）。
注：分层时从汇点分层。
但是如果仅仅是这样，实际上快不了多少。
真正的优化在于这两个：gap优化和当前弧(cur)优化。
gap优化：
Dinic的反复分层被改成了ISAP的向上构造，而可行流必须满足level[起点] = level[终点]+1，也就是说如果出现了断层，也就是说在某一level的层级中不存在节点，那么就不会再出现可行流(比如这一层是x，那么流无法从lev.(x-1)流到lev.(x+1))，直接结束算法，比不加它的ISAP**快到不知哪里去了**。
cur优化（当前弧）:
对于任意一个节点x，假设最大流已经经过它流向下一个节点，而后在某次又流到了它(比如说已经找到一条可行流，从源点重新寻找可行流，再次到达该节点)，那么该可行流一定不能再流到之前流过的那些弧了（那些弧已经流过了，再进去相当于又走了一遍老路，但是上一次已经最大化的利用了它的流量限制，也就是说这次是没有任何意义的行为。）
为了避免这种情况，我们用一个数组cur[]来记录每个节点当前流到的弧的编号（这是边表存储的情况。如果是邻接矩阵存储，那就记录当前流到了下一个节点的编号），当下一次又经过该节点的时候，我们只需要再去尝试没有流过的弧了。
举个例子：
节点5有三条弧，分别是arc1,arc2,arc3 。在之前寻找可行流的过程中，经过了arc1。那么将cur[5] = arc2，下一次便从arc2开始寻找可行流。
可能会有这样一个问题：
凭什么就说arc1就没有再走的价值了，那如果上一次通过arc1流向了节点6，而可行流最终是通过节点6的某一条弧流向汇点的，但是节点6不一定只有一条弧啊，下一次还可以走节点6的其他弧。
解释也很简单，这是递归的过程，如果流已经流回到了节点5，那么说明节点6以及arc1所抵达的所有节点都已经进行了这项操作。
当然，如果出现对某结点重新分层的时候，要将该节点的cur置回0（因为当前已经到尾了）。
代码实现：
1.STL+DFS+非结构体版：
/* About: Max_flow ISAP STL+DFS Auther: kongse_qi Date: 2017/04/30 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctype.h>
#include <queue>
#define maxn 10005
#define maxm 200005
#define INF 0x3f3f3f
#define read(x) Get_Int(), x = in
#define p_b(x) push_back(x)
using namespace std;
struct Edge{
int st, en, weight;
Edge(){}
Edge(int s, int e, int w):
st(s), en(e), weight(w){}
}edge[maxm];
vector<int> arc[maxn];
typedef vector<int>::iterator iterator_t;
int n, m, st, en, tot;
int max_flow;
int num[maxn];
int dis[maxn];
int cur[maxn];
int pre[maxn];
char *X, *Buffer, c;
int in;
void Get_All()
{
fseek(stdin, 0, SEEK_END);
int file_lenth = ftell(stdin);
rewind(stdin);
Buffer = (char*)malloc(file_lenth*sizeof(char));
fread(Buffer, 1, file_lenth, stdin);
X = Buffer;
c = *X;
return ;
}
void Get_Int()
{
in = 0;
while(!isdigit(c)) c = *++X;
while(isdigit(c))
{
in = in*10+c-'0';
c = *++X;
}
return ;
}
void Init()
{
//freopen("test.in", "r", stdin);
Get_All();
tot = -1;
read(n), read(m);
read(st), read(en);
int a, b, c;
for(int i = 0; i != m; ++i)
{
read(a), read(b), read(c);
edge[++tot] = Edge(a, b, c);
edge[++tot] = Edge(b, a, 0);
arc[a].p_b(tot-1);
arc[b].p_b(tot);
}
return ;
}
bool Bfs()
{
bool wh[maxn];
memset(wh, 0, sizeof wh);
queue<int> q;
q.push(en);
wh[en] = true;
while(!q.empty())
{
int cur = q.front(); q.pop();
for(iterator_t i = arc[cur].begin(); i != arc[cur].end(); ++i)
{
Edge& ne = edge[*i];
if(wh[ne.en] == false)
{
dis[ne.en] = dis[cur]+1;
q.push(ne.en);
wh[ne.en] = true;
}
}
}
if(wh[st] == false) return false;
return true;
}
int Augment(int x)
{
int minn = INF;
while(x != st)
{
Edge& e = edge[pre[x]];
minn = min(minn, e.weight);
x = e.st;
}
x = en;
while(x != st)
{
int curr = pre[x];
edge[curr].weight -= minn;
edge[curr^1].weight += minn;
x = edge[curr].st;
}
return minn;
}
void Advance(int x)
{
bool wh = false;
for(int& i = cur[x]; i != arc[x].size(); ++i)
{
Edge& e = edge[arc[x][i]];
if(e.weight > 0 && dis[x] == dis[e.en]+1)
{
wh = true;
pre[e.en] = arc[x][i];
x = e.en;
break;
}
}
if(wh == false)
{
int m = n-1;
for(iterator_t i = arc[x].begin(); i != arc[x].end(); ++i)
{
Edge& e = edge[*i];
if(e.weight > 0)
{
m = min(m, dis[e.en]);
}
}
if(--num[dis[x]] == 0) return ;
++num[dis[x] = m+1];
cur[x] = 0;
if(x != st) x = edge[pre[x]].st;
}
if(x == en)
{
max_flow += Augment(en);
x = st;
}
if(dis[st] >= n) return ;
Advance(x);
return ;
}
int Isap()
{
if(Bfs())
{
for(int i = 1; i != n+1; ++i)
{
++num[dis[i]];
}
Advance(st);
}
else return -1;
return max_flow;
}
int main()
{
Init();
printf("%d\n", Isap());
return 0;
}
2.struct+非STL+BFS版 (不开O2它最快)
/* About: Max_flow ISAP struct 非STL+BFS Auther: kongse_qi Date: 2017/04/30 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctype.h>
#define maxn 10005
#define maxm 200005
#define INF 0x3f3f3f
#define read(x) Get_Int(), x = in
using namespace std;
void Get_Int();
void Get_All();
char *X, *Buffer, c;
int in;
struct Edge{
int st, en, weight;
Edge(){}
Edge(int s, int e, int w):
st(s), en(e), weight(w){}
};
struct Isap{
int st, en, tot, n, m;
int max_flow;
int num[maxn];
int dis[maxn];
int cur[maxn];
int pre[maxn];
int arc[maxn][maxn/50];
int amount[maxn];
Edge edge[maxm];
void Init(int st, int en, int n, int m)
{
tot = -1;
this -> st = st; this -> en = en;
this -> n = n; this -> m = m;
max_flow = 0;
memset(cur, 0, sizeof cur);
memset(num, 0, sizeof num);
memset(amount, -1, sizeof amount);
return ;
}
void Add_edge(int s, int e, int w)
{
edge[++tot] = Edge(s, e, w);
edge[++tot] = Edge(e, s, 0);
arc[s][++amount[s]] = tot-1;
arc[e][++amount[e]] = tot;
return ;
}
bool Bfs()
{
bool wh[maxn];
memset(wh, 0, sizeof wh);
int q[maxn], st_pos = -1, en_pos = -1;
q[++en_pos] = en;
wh[en] = true;
while(st_pos != en_pos)
{
int cur = q[++st_pos];
for(int i = 0; i != amount[cur]+1; ++i)
{
Edge& ne = edge[arc[cur][i]];
if(wh[ne.en] == false)
{
dis[ne.en] = dis[cur]+1;
q[++en_pos] = ne.en;
wh[ne.en] = true;
}
}
}
if(wh[st] == false) return false;
return true;
}
int Augment(int x)
{
int minn = INF;
while(x != st)
{
Edge& e = edge[pre[x]];
minn = min(minn, e.weight);
x = e.st;
}
x = en;
while(x != st)
{
int curr = pre[x];
edge[curr].weight -= minn;
edge[curr^1].weight += minn;
x = edge[curr].st;
}
return minn;
}
void Advance(int x)
{
while(dis[st] < n)
{
bool wh = false;
for(int& i = cur[x]; i != amount[x]+1; ++i)
{
Edge& e = edge[arc[x][i]];
if(e.weight > 0 && dis[x] == dis[e.en]+1)
{
wh = true;
pre[e.en] = arc[x][i];
x = e.en;
break;
}
}
if(wh == false)
{
int m = n-1;
for(int i = 0; i != amount[x]+1; ++i)
{
Edge& e = edge[arc[x][i]];
if(e.weight > 0)
{
m = min(m, dis[e.en]);
}
}
if(--num[dis[x]] == 0) return ;
++num[dis[x] = m+1];
cur[x] = 0;
if(x != st) x = edge[pre[x]].st;
}
if(x == en)
{
max_flow += Augment(en);
x = st;
}
}
return ;
}
int Max_flow()
{
Bfs();
for(int i = 1; i != n+1; ++i)
{
++num[dis[i]];
}
Advance(st);
return max_flow;
}
}doit;
int main()
{
int a, b, c, n, m, st, en;
freopen("test.in", "r", stdin);
Get_All();
read(n), read(m);
read(st), read(en);
doit.Init(st, en, n, m);
for(int i = 0; i != m; ++i)
{
read(a), read(b), read(c);
doit.Add_edge(a, b, c);
}
printf("%d\n", doit.Max_flow());
return 0;
}
void Get_All()
{
fseek(stdin, 0, SEEK_END);
int file_lenth = ftell(stdin);
rewind(stdin);
Buffer = (char*)malloc(file_lenth*sizeof(char));
fread(Buffer, 1, file_lenth, stdin);
X = Buffer;
c = *X;
return ;
}
void Get_Int()
{
in = 0;
while(!isdigit(c)) c = *++X;
while(isdigit(c))
{
in = in*10+c-'0';
c = *++X;
}
return ;
}
3 struct+STL+BFS版
/* About: Max_flow ISAP struct STL+BFS Auther: kongse_qi Date: 2017/04/30 */
#pragma GCC optimize(3)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctype.h>
#include <queue>
#define maxn 10005
#define maxm 200005
#define INF 0x3f3f3f
#define read(x) Get_Int(), x = in
#define p_b(x) push_back(x)
using namespace std;
void Get_Int();
void Get_All();
char *X, *Buffer, c;
int in;
typedef vector<int>::iterator iterator_t;
struct Edge{
int st, en, weight;
Edge(){}
Edge(int s, int e, int w):
st(s), en(e), weight(w){}
};
struct Isap{
int st, en, tot, n, m;
int max_flow;
int num[maxn];
int dis[maxn];
int cur[maxn];
int pre[maxn];
vector<int> arc[maxn];
Edge edge[maxm];
void Init(int st, int en, int n, int m)
{
tot = -1;
this -> st = st; this -> en = en;
this -> n = n; this -> m = m;
for(int i = 1; i != n+1; ++i)
{
arc[i].clear();
}
max_flow = 0;
memset(cur, 0, sizeof cur);
memset(num, 0, sizeof num);
return ;
}
void Add_edge(int s, int e, int w)
{
edge[++tot] = Edge(s, e, w);
edge[++tot] = Edge(e, s, 0);
arc[s].p_b(tot-1);
arc[e].p_b(tot);
return ;
}
bool Bfs()
{
bool wh[maxn];
memset(wh, 0, sizeof wh);
queue<int> q;
q.push(en);
wh[en] = true;
while(!q.empty())
{
int cur = q.front(); q.pop();
for(iterator_t i = arc[cur].begin(); i != arc[cur].end(); ++i)
{
Edge& ne = edge[*i];
if(wh[ne.en] == false)
{
dis[ne.en] = dis[cur]+1;
q.push(ne.en);
wh[ne.en] = true;
}
}
}
if(wh[st] == false) return false;
return true;
}
int Augment(int x)
{
int minn = INF;
while(x != st)
{
Edge& e = edge[pre[x]];
minn = min(minn, e.weight);
x = e.st;
}
x = en;
while(x != st)
{
int curr = pre[x];
edge[curr].weight -= minn;
edge[curr^1].weight += minn;
x = edge[curr].st;
}
return minn;
}
void Advance(int x)
{
while(dis[st] < n)
{
bool wh = false;
for(int& i = cur[x]; i != arc[x].size(); ++i)
{
Edge& e = edge[arc[x][i]];
if(e.weight > 0 && dis[x] == dis[e.en]+1)
{
wh = true;
pre[e.en] = arc[x][i];
x = e.en;
break;
}
}
if(wh == false)
{
int m = n-1;
for(iterator_t i = arc[x].begin(); i != arc[x].end(); ++i)
{
Edge& e = edge[*i];
if(e.weight > 0)
{
m = min(m, dis[e.en]);
}
}
if(--num[dis[x]] == 0) return ;
++num[dis[x] = m+1];
cur[x] = 0;
if(x != st) x = edge[pre[x]].st;
}
if(x == en)
{
max_flow += Augment(en);
x = st;
}
}
return ;
}
int Max_flow()
{
Bfs();
for(int i = 1; i != n+1; ++i)
{
++num[dis[i]];
}
Advance(st);
return max_flow;
}
}doit;
int main()
{
int a, b, c, n, m, st, en;
//freopen("test.in", "r", stdin);
Get_All();
read(n), read(m);
read(st), read(en);
doit.Init(st, en, n, m);
for(int i = 0; i != m; ++i)
{
read(a), read(b), read(c);
doit.Add_edge(a, b, c);
}
printf("%d\n", doit.Max_flow());
return 0;
}
void Get_All()
{
fseek(stdin, 0, SEEK_END);
int file_lenth = ftell(stdin);
rewind(stdin);
Buffer = (char*)malloc(file_lenth*sizeof(char));
fread(Buffer, 1, file_lenth, stdin);
X = Buffer;
c = *X;
return ;
}
void Get_Int()
{
in = 0;
while(!isdigit(c)) c = *++X;
while(isdigit(c))
{
in = in*10+c-'0';
c = *++X;
}
return ;
}结构体版实际上就是将函数作为结构体的成员函数运行，在主函数中调用时逻辑会更加清晰（分区很明显）。
实测结果：
O2优化情况下：
1.耗时：115ms
内存：17281kb
2.耗时：80ms
内存：23304kb
3.耗时：103ms
内存：17281kb
其实差距不大。
不开O2的情况下：
1.耗时：322ms
内存：17429kb
2.耗时：141ms
内存：23304kb
3.耗时：323ms
内存：17292kb
（结果不一定十分稳定）
因此不开优化的STL是非常不建议使用的。
STL的快速与便捷只有在开启优化的情况下才能兼得。
附压行代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctype.h>
#include <vector>
#define maxn 10005
#define maxm 200005
#define INF 0x3f3f3f
using namespace std;
struct Edge{
int st, en, weight;
Edge(){}
Edge(int s, int e, int w):
st(s), en(e), weight(w){}
};
struct Isap{
int st, en, tot, n, m, max_flow;
int num[maxn], dis[maxn], cur[maxn], pre[maxn], arc[maxn][100], amount[maxn];
vector<Edge> edge;
void Init(int st, int en, int n, int m){
tot = -1;
this -> st = st; this -> en = en;
this -> n = n; this -> m = m;
max_flow = 0;
edge.resize(m*2);
memset(cur, 0, sizeof cur);
memset(num, 0, sizeof num);
memset(amount, -1, sizeof amount);
}
void Add_edge(int s, int e, int w){
edge[++tot] = Edge(s, e, w);
edge[++tot] = Edge(e, s, 0);
arc[s][++amount[s]] = tot-1;
arc[e][++amount[e]] = tot;
}
void Bfs(){
bool wh[maxn] = {0};
int q[maxn], st_pos = -1, en_pos = -1;
q[++en_pos] = en;
wh[en] = true;
while(st_pos != en_pos){
int cur = q[++st_pos];
for(int i = 0; i != amount[cur]+1; ++i){
Edge ne = edge[arc[cur][i]];
if(wh[ne.en] == false){
dis[ne.en] = dis[cur]+1;
q[++en_pos] = ne.en;
wh[ne.en] = true;
}
}
}
}
int Augment(){
int minn = INF, curr;
Edge e;
for(int x = en; x != st; ){
e = edge[pre[x]];
minn = min(minn, e.weight);
x = e.st;
}
for(int x = en; x != st;){
curr = pre[x];
edge[curr].weight -= minn;
edge[curr^1].weight += minn;
x = edge[curr].st;
}
return minn;
}
void Advance(int x){
while(dis[st] < n){
bool wh = false;
for(int& i = cur[x]; i != amount[x]+1; ++i){
Edge &e = edge[arc[x][i]];
if(e.weight > 0 && dis[x] == dis[e.en]+1){
wh = true;
pre[e.en] = arc[x][i];
x = e.en;
break;
}
}
if(wh == false){
int minn = n-1;
for(int i = 0; i != amount[x]+1; ++i){
Edge& e = edge[arc[x][i]];
if(e.weight > 0)
minn = min(minn, dis[e.en]);
}
if(--num[dis[x]] == 0) return ;
++num[dis[x] = minn+1];
cur[x] = 0;
if(x != st) x = edge[pre[x]].st;
}
if(x == en) {
max_flow += Augment();
x = st;
}
}
}
int Max_flow(){
Bfs();
for(int i = 1; i != n+1; ++i)
++num[dis[i]];
Advance(st);
return max_flow;
}
}doit;
int main(){
int a, b, c, n, m, st, en;
//freopen("test.in", "r", stdin);
scanf("%d%d", &n, &m);
st = 1, en = n;
doit.Init(st, en, n, m);
for(int i = 0; i != m; ++i){
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
doit.Add_edge(a, b, c);
}
printf("%d\n", doit.Max_flow());
return 0;
}（121行total）
自此结束。
箜瑟_qi 2017.04.30 23:20
四月最后一篇。
