1. 第一题（引子）：输出菲波那切数列的第N项。
斐波那契数列含义（百度百科）：
指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

    递归方式：
    public static int fibnacci(int n){
        if (n==0){
            return 0;
        }
        if (n==1){
            return 1;
        }
        return fibnacci(n-1)+fibnacci(n-2);
    }
    我们计算n为4的情况：那么我们需要做如下的计算：
    Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2);
    = Fibonacci(2) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);
    = Fibonacci(1) + Fibonacci(0) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);
    看看，多做了多少计算。2 计算了 2次，1 计算了5次，0计算了3次。正常来说我们计算4次就可以了吧。这样相当于多做了4次。
    
    非递归方式：
    public static int fibnacci2(int n){
        if (n==0){
            return 0;
        }
        if (n==1 || n==2){
            return  1;
        }
        int f1=1;
        int f2=1;
        int count=3;
        while (count++<=n){
            int temp=f1;
            f1=f2;
            f2=temp+f2;
        }
        return f2;
    }

延伸到青蛙跳台阶问题：


2. 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。
    如果n=1，只有一种跳法，那就是1
    如果n=2，那么有两种跳法，2，[1,1]
    如果n=3，那么有三种跳法，[1,1,1],,[1,2],[2,1]
    如果n=4，那么有五种跳法，[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1],[2,2]
    如果n=5，那么有八种跳法，[1,1,1,1,1],[1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,2,1,1],[2,1,1,1],[2,2,1],[2,1,2],[1,2,2]
    结果为1，2，3，5，8  这不特么是斐波那切数列嘛
    递归做法：
    public static int jump(int n){
        if (n==0)
            return 0;
        if (n==1)
            return 1;
        if (n==2)
            return 2;
        return jump(n-1)+jump(n-2);
    }
    非递归做法：
    public static int jump2(int n){
        if (n==0)
            return 0;
        if (n==1)
            return 1;
        if (n==2)
            return 2;
        int n1=1;
        int n2=2;
        int count=2;
        while (count++<=n){
            int tmp=n1;
            n1=n2;
            n2=tmp+n2;
        }
        return n2;
    }


    //一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
    //f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)


3. 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
    
    f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)= f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)+f(n-1)
    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
    so  f(n)=2*f(n-1)


    public int Jump3(int n) {
            if (n <= 1) {
                return 1;
            } else {
                return 2 * Jump3(n - 1);
            }
        }

 4. 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个m级的台阶总共有多少种跳法。
   先列多项式：
   f(n) =  f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-m)
   f(n-1) =   f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-m) + f(n-m-1)
   化简得：f(n) = 2f(n-1) - f(n-m-1)
   
     public static int Jump4(int n,int m ) {
         //当大于m的时候是上面的公式
         if(n > m){
             return 2*Jump4(n-1, m)-Jump4(n-1-m, m);
         }
         //当小于等于m的时候就是和n级的相同了
         if (n <= 1) {
             return 1;
         } else {
             return 2 * Jump4(n - 1,n);
         }
     }
}