匹配极其相关问题（四）

2024年6月10日 90次阅读

前言：
之前已经介绍了最小点覆蓋与最大点独立，那么接下来就应该是最小边覆蓋问题了。最小边覆蓋问题有很多变种，其中最常见的就是DAG上的最小路径覆蓋，这种问题可以转化成二分图最大匹配解决。

基本定理：
根据博客（一），有定理如下：
定理4：二分图中，无孤立点，点独立数=边覆蓋数=N-边独立数
若存在M个孤立点，上述定理3、4在顶点数N扣除M后成立。
定理7：无向图中，无孤立点，
1）若M为G的一个最大匹配，对于G中M的每个未覆蓋点v，选取一条与v相关联的边所组成的边的集合为N，则W=M∪N为G的最小边覆蓋；
2）若W为G的一个最小边覆蓋，若W中存在相邻的边就移去一条，设移去的边集为N，则M=W-N为G中一个最大匹配。

算法思路：
最小边覆蓋：
根据定理4和7，我们可以得到求解最小边覆蓋的算法。最小边覆蓋数可以通过求解二分图最大匹配知道，在求得一种匹配方案之后，我们需要找到边覆蓋方案，根据定理7，我们知道对于已匹配的点，我们可以直接使用匹配边；对于未匹配点，随便挑选一条相连边。
DAG最小路径覆蓋：
这种问题是最小边覆蓋的一个变种，解决问题的时候需要将原图的一个点拆成两个点，如果两个结点X和Y存在边，则将左图的X与右图的Y连边。之后求解二分图最大匹配，最终的最小路径覆蓋数=结点数-最大匹配数，可以解决。

例题解析：
1、最小边覆蓋：
题目链接：URAL 1109
解题思路：
最基本的最小边覆蓋，直接使用匈牙利算法求匹配数再计算边覆蓋数即可。
代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n,m,K,pre[1005];
bool a[1005][1005],vis[1005];

bool dfs(int index)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(!vis[i]&&a[index][i])
        {
            vis[i]=1;
            if(!pre[i]||dfs(pre[i]))
            {
                pre[i]=index;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int hungary()
{
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));  
        if(dfs(i))
            cnt++;
    }
    return cnt;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d %d %d",&n,&m,&K))
    {
        memset(a,0,sizeof(a));  
        memset(pre,0,sizeof(pre));

        int x,y;
        for(int i=0;i<K;i++)
        {
            scanf("%d %d",&x,&y);
            a[x][y]=1;
        }

        printf("%d\n",n+m-hungary());
    }

    return 0;
}

2、DAG最小路径覆蓋：
题目链接：UVALIVE 3126
解题思路：
该题目的描述就是一个很裸的DAG最小路径覆蓋的问题描述，直接按照前面所说的算法思路可以解决。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 505

using namespace std;

int startx[maxn],starty[maxn],endx[maxn],endy[maxn];
int n,vy[maxn],prey[maxn],a[maxn][maxn],t[maxn];

int dist(int x1,int y1,int x2,int y2){
    return abs(x1-x2)+abs(y1-y2);
}

bool dfs(int index)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!vy[i]&&a[index][i])
        {
            vy[i]=1;
            if(!prey[i]||dfs(prey[i]))
            {
                prey[i]=index;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int hungary()
{
    int ans=0;
    memset(prey,0,sizeof(prey));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(vy,0,sizeof(vy));
        if(dfs(i))
            ans++;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        int h,m;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%02d:%02d %d %d %d %d",&h,&m,&startx[i],&starty[i],&endx[i],&endy[i]);
            t[i]=h*60+m;
        }

        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int d=dist(startx[i],starty[i],endx[i],endy[i]);
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(t[i]<t[j] && t[j]-t[i]-1 >= d+dist(endx[i],endy[i], startx[j],starty[j]))
                    a[i][j]=1;
        }
        int ans=hungary();
        printf("%d\n",n-ans);
    }

    return 0;
}
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