一、问题

把正整数1,2,3…n组成一个环，使得相邻两个整数之和为素数，输出时从整数1开始逆时针排列。n不大于16。

二、思路

最直接的方式是列出所有的素数排列，然后逐个判断是否满足要求，这种方式很简单好理解，但是问题在于所有的素数列量太大，速度会很慢。从另一个角度来看，7.2，7.3，7.4本质上都是广义上的搜索问题，而且都是可以分步骤用递归解决的。本质上，这种解决方法都是在解答树上通过深度优先搜索出符合要求的节点。对于7.3，所有的节点都包含符合要求的答案。对于7.2和7.4，这些包含答案的节点都是叶子节点，不同的是7.2中的每个叶子节点都是答案，而7.4由于题目要求的严格，很过叶子节点都不满足要求因此不是答案。更进一步的，我们很自然的可以想到在搜索的过程中，有时候实际上不用走到叶子节点就知道“此路不通”了，例如给定5个数，如果选择了第一个数为1，且第二个数为3的组合，不用看第三个数就知道肯定无法构成素数环了，因此也不用继续增加深度了，而是调转头来（backtrace，即回溯）考虑第二个数的其他可能性。

三、代码

1. 伪代码

curr：当前步数,初始化为1 A：当前已经存放了curr个数字的数组，初始化A[0]=1 不变逻辑： a. 如果curr==n，判断最后一个数和第一个数的和是否为素数，是的话打印A，否则返回 b. 对于2~n中的每个数字，如果没有出现在A中，并且和A[curr-1]的和为素数，则放入A[curr]，curr++,进入下一步。 递归边界：curr == n

2.代码

public class Backtrace {

	private static Integer N = 16; 
	
	public static void main(String[] args) {
		Integer[] output = new Integer[N];
		output[0] = 1;
		primeNumberCircle(output,1);
	}
	
	private static void primeNumberCircle(Integer[] A, Integer curr){
		if(curr==N){
			//检查第一个数和最后一个数的和是否为素数
			if(isPrime(A[0]+A[N-1])){
			for(int i=0; i<N; i++){
				System.out.print(A[i]);
				System.out.print(" ");
			}
			System.out.println();
			}
			return;
		}
		
		// 从2到N直接选出可以放在当前位置的数
		for(int j=2;j<=N;j++){
			
			//要求在A中还没有出现
			Boolean found=false;
			for(int i=0; i<curr; i++){
				if(A[i]!=null && A[i].equals(j)){
					found=true;
					break;
				}
			}
			
			//同时要求和前一个数字的和为素数
			if(!found){
				if(isPrime(A[curr-1]+j)){
					A[curr]=j;
					primeNumberCircle(A,curr+1);
				}
			}
		}
	}
	
	
	private static Boolean isPrime(Integer n) { 
		for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) { 
			if (n % i == 0) return false; 
		}
		return true; 
	} 
}

四、总结 1. 递归一定有的：一个记录中间结果的数组A，一个记录层次深度的变量curr 2. 回溯法的关键是寻找合适的剪枝条件