求最大公约数——辗转相除法,更相减损术

最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。我调查发现有两种简单的方法可以求解最大公约数

方法一:辗转相除法,也叫欧几里德算法

设两数为a、b(a>b),求a和b最大公约数(a,b)的步骤如下:用a除以b,得a÷b=q
……r1(0≤r1)。若r1=0,则(a,b)=b;若r1≠0,则再用b除以r1,得b÷r1=q……r(0≤r2).若r2=0,则(a,b)=r1,若r2≠0,则继续用r1除以r2……如此下去,直到能整除为止。其最后一个除数即为(a, b)。

<span style="font-size:14px;">#include <stdio.h>
#include <math.h>

/*辗转相除法*/ 

int gcd(int a,int b){
 	if(a%b==0)
  	    return b;
 	return gcd(b,a%b);
}
int main(void){
 	int a=10,b=8;
 	printf("请输入两个整数,大数在前,以空格分开:\n");
 	scanf("%d %d",&a,&b);
 	printf("GCD: A=>%d, B=>%d (A,B)=%d\n",a,b,gcd(a,b));
 	return 0;
}</span>
<span style="font-size:18px;">分析:递归实现,代码简单,推荐使用</span>

方法二:更相减损术

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数,原文是:

<em>可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。</em>

<span style="font-size:14px;">就是 两数先整数2,不能整数了,就大数减去小数,用差和小数相比,再大数减去小数,知道差和小数相等。</span>

代码如下:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
//更相减损术 
int main(){
	int a, b, n = 0, tmp;
	printf("请输入两个整数,以空格分开:\n");
	scanf("%d %d", &a, &b);
	while(!(a%2) && !(b%2)){
		a = a/2;
		b = b/2;
		n++; 
	}
	while(a != b){
		if(a>b){
			a = a-b;
		}else{
			b = b-a;
		}
	}
	if(n == 0)
		printf("更相减损术:最大公约数为: %d \n", a);
	else 
		printf("更相减损术:最大公约数为: %d \n", 2*n*a);
	return 0;
} 

原理:两者原理都类似,此处略去。

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