整数拆分 C++

2024年5月22日 165次阅读

描述

题目描述
一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。
输入描述:
每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。
输出描述:
对于每组数据，输出f(n)%1000000000。
示例1

输入
7
输出
6

分析

显然f[1]=1 f[2]=2
当n是奇数时，只能拆成1+（n-1），而1不能再拆分，所以实际上f[n] = f[n-1]
当n为偶数时，拆分的结果中有两种情况，一种是包含1的，比如1+2+1，另一种是不包含1的，比如2+2
含有1的情况中，由于n是偶数，则必然至少含有两个1，这两个1不会再拆分，所以种类数由剩下的n-2的拆分决定，所以是f[n-2]；
当不含有1时，那么拆分出的所有数都是2的倍数，也就是n = 2*(n/2)，能够拆分出的种类由这n/2决定，所以是f[n/2]
所以当n为偶数时， f[n] = f[n-2] + f[n/2]

另外由于数据过大，需要边计算边取模

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cctype>
using namespace std;
const int mod = 1000000000;
const int N = 1000000;
long long f[N + 2];
int main()
{
    int n;
    f[1] = 1; f[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= N; i++)
    {
        if (i % 2 != 0)f[i] = f[i - 1];
        else f[i] = (f[i / 2]%mod + f[i - 2]%mod)%mod;
    }
    while (cin>>n)
    {
        printf("%lld\n", f[n] % mod);
    }
}
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