- 题目描述:
给定一个整型数组, 求这个数组的最长严格递增子序列的长度。 譬如序列1 2 2 4 3 的最长严格递增子序列为1,2,4或1,2,3.他们的长度为3。
- 输入:
输入可能包含多个测试案例。
对于每个测试案例,输入的第一行为一个整数n(1<=n<=100000):代表将要输入的序列长度
输入的第二行包括n个整数,代表这个数组中的数字。整数均在int范围内。
- 输出:
对于每个测试案例,输出其最长严格递增子序列长度。
- 样例输入:
4 4 2 1 3 5 1 1 1 1 1
- 样例输出:
2 1
1、普通DP的方法(九度中会超时)
#include #include #define N 100001 using namespace std; int a[100001]; int dp[100001]; int main() { int n; freopen("in.txt","r",stdin); while(cin>>n) { for(int i=0;i>a[i]; dp[i]=1; } for(int i=0;ia[j]) { if(dp[j]+1>maxt) maxt=dp[j]+1; } } dp[i]=maxt; } int max=0; for(int i=0;imax) max=dp[i]; } printf("%d\n",max); } return 0; }
2、O(NlogN)的方法
一下分析摘在:http://www.cnblogs.com/mengxm-lincf/archive/2011/07/12/2104745.html
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。n 下面一步一步试着找出它。 我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。 此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了 首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1 然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1 接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2 再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2 继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。 第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3 第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了 第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。 最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。 于是我们知道了LIS的长度为5。 !!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。 然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!
#include #include #define N 100001 using namespace std; int a[100001]; int dp[100001]; int cent; int bir_search(int k) { int low=0; int high=cent-1; while(low<=high) { int mid=low+(high-low)/2; if(dp[mid]k) { high=mid-1; } else return mid; } return low; } int Lis(int a[],int n) { for(int i=0;i=cent) { dp[cent++]=a[i]; //cout<<"cent="<>n) { cent=0; for(int i=0;i>a[i]; } int max=Lis(a,n); printf("%d\n",max); } return 0; }