二进制补码是在《计算机科学概论》中讲授的基本概念，本注记试图讲述：什么是补码，为什么需要补码，补码的运算规则，而最重要的是试图说明，补码规则为什么是如此定义的。从而引申出一个也许不大准确的结论：计算机科学理论是源于实践又反作用与实践的理论，至少从理论上看是如此。
为什么需要补码
定义补码是为了满足计算机表示负整数（也称带符号整数）的需要。有基本知识的都知道，计算机是用二进制来表示数字，即只用0/1两个数字表示数字，如果要表示负数应该怎么办呢？
补码的规则
补码的规则是非常简单的，要表示某正数的负数，只需要对该二进制数取反然后加1 。比如，0011表示十进制的正整数3，那么-3的补码表示就是 1100+1=1101 。（为方便起见，所有例子都使用4比特二进制数来表示。）
基本上，大部分的同学学到这里也就停止了，规则定下来，我们遵守就是了。只有少数同学或者老师会继续提问，为什么补码的定义是取反加1（而不是其他规则），为什么要这样定义，这样定义的依据是什么？以下我试图解释这个问题。
为了证实表示负数用补码的定义是正确的选择，我们可以从反面出发，看看几种不正确的但显然是非常直观的定义。
直接在正整数之前加符号
这种想法最最直观直接了。大家看，要表示带符号数，我们必然需要使用一个比特来代表所谓的符号，就选0代表整数，1代表负数，因此，如果表示-3，那只需在+3前面加负号即可，也就是说3是0011，那么-3就是1011 。这样不就很好了吗？
首先注意，4比特二进制在无符号的时候，表示的范围是0～15，即0000～1111 。在表示带符号整数时，因为抽出了一为作为符号位，那么表达的范围就应该是：
0000~0111 (0~7) 以及 1000~1111 (-0~-7)
一个立即需要解决的问题就是0与-0从含义（定义）上怎么区别？而更为重要的是，符号的出现还直接影响了算术运算规则的定义。比如，原本我们很容易定义加法来做正整数运算，比如0011+0001= 0100（3+1=4），但是这个加法对带符号数就立即失效了，比如0011+1001=1100=（3-1=-4)。
小结一下，在定义带符号数的时候我们有两个问题需要解决：0与-0该如何区分、定义或者解决，其次，使得无符号的加法在带符号的加法保持相容。
对正整数取反
这种想法也非常直观。负数与正数不是刚刚相反吗，那么给定一个正二进制数，只需把每一位都取反不就刚好对应一个负数么？比如，0011（3）的反就是1100（-3）。此时，四比特的带符号二进制数的范围就是：0000~0111 (0~7，与上一个例子相同) 以及 1000~1111 (-7~-0，注意，与上一个例子相比，顺序是颠倒了的。) 。
我们需要问，刚才的问题解决了没有？稍微分析一下，我们失望地发现局面似乎并无改观。还有一个-0（1111），而且加法也不与正数加法兼容，比如：
0011 + 1100 = 1111 （ 3 + （-3）= -0，本应该是0的。）。
再仔细看看，0与-0的区别在哪里？我们稍微乐观点就可以意识到，0000与1111的差距只是差一个1 ？不是吗，1111+1=0000 ！于是，补码定义呼之欲出了。
对正整数取反之后再加1 （补码运算规则）
现在我剩下的工作只需要重新考察，在这种预算规则下，刚才两个问题解决了没有？首先，还是看数字的表示范围：0000～0111（0～7，不变），负数1000～1111表示的是：-8~-1 。细心的同学就会立即发现问题说，哎，且慢，怎么多了一个-8出来？不着急，大家只需要对0000～0111这8个数逐个用补码规则求反就会发现，我们得不到1000这个数字，也就是说1000肯定不是-1～-7之间的数。而且运用一般二进制整数的加法来算，-1 （1111）加 -7 （1001） = 1000，那么1000不就刚好是-8么？多了-8出来，刚好-0就没有了。好消息之一！剩下就是继续检查，这种补码运算是否跟原定义的加法相容了。具体例子大家稍微动动笔就知道了。
补码是一个基本概念，在我们讲解这个基本概念的时候，大家往往只是“生吞”定义，然后声讨这些所谓的“理论”，声讨老师只教理论，不讲实践，痛心疾首自己学计算机学了好多好多年还不懂什么……讲完刚才这个例子，我只想问，补码是理论还是一种工程实践？如果它确实是理论（我也相信它是一种理论），如果没有丰富的实践基础可以得出来吗？这个理论难道不是扎根于实践而要深深地影响了实践吗？计算机科学就是这样一种源于实践而要影响实践的学科，而我没有见过不源于实践的理论，也没有见过不应用于实践的理论。
最后用一句Hamming的名言结束本注记（在我的课件中有）：The purpose of computing is insight, not numbers.
P.S. 关于补码，如果上面的不想看或者因为我写得不好而不懂，可以记住以下最简单的理解补码的方法。一个n比特的数，范围是-2^{n-1} 到 2^{n-1} – 1，共有2^n个数，请注意它们都是mod 2^n的结果。其中所有的 -x的补码就是2^n – x ！
例子：一个8比特的-7写为二进制原码是-00000111，二进制补码就是100000000 – 00000111 = 11111001，即为00000111的取反加1 ！
