插入排序（直接插入排序、折半插入排序和希尔排序）

2024年6月1日 190次阅读

插入排序是一种简单直观的排序方法，其基本思想是在于每次将一个待排序的记录， 按其关键字大小插入到前面已经排好序的子序列中，直到全部记录插入完成。

    插入排序可分为：直接插入排序、折半插入排序和希尔排序。

1、直接插入排序

      插入排序在实现上通常采用就地排序（空间复杂度为O（1）)，因此在从后面的比较过程中，需要反复的把已经排好序的元素逐步向后挪位，为新元素插入空间。

public class InsertSort {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = new int[]{1, 2, 3, 8, 6, 7, 9};
		insertSort(arr);
	}
	public static void insertSort(int[] arr) {
		int i, j, temp;
		for (i = 1; i < arr.length; i++) {
			if(arr[i] < arr[i-1]) {
				temp = arr[i]; // temp为哨兵
				for (j = i-1; temp < arr[j]; j--) {
					arr[j+1] = arr[j];
				}
				arr[j+1] = temp;
			}
		}
		System.out.println(Arrays.toString(arr));
	}
}

    空间效率：仅使用了常数个辅助空间，因而空间复杂度为O（1）

    时间效率：在排序过程中，向有序子表中逐个的插入元素的操作进行了 n-1 趟，每趟操作都分为比较关键字和移动元素，而比较次数和移动次数取决于待排序表的初始状态。

    在最好的情况下，表中的元素已经有序，此时每插入一个元素，都只需比较一次而不用移动元素，因此时间复杂度为O（n）.

    在最坏的情况下，表中的元素顺序刚好与排序结果中的元素顺序相反（逆序）时，总的比较次数达到最大 ，总的移动数也达到最大。

    平均情况下，考虑待排序的表中的元素是随机的，此时可以取上述最好与最坏的平均值作为平均情况下的时间复杂度，总的比较次数与总的移动次数约为n^(2)/4。

    由此，直接插入排序的时间复杂度为O（n^(2)），虽然折半查找排序算法的时间复杂度也有O（n^(2)），但对于数据量比较小的排序表，折半插入排序往往能表现出很好的性能。

    直接插入排序是一个稳定的插入排序。适用于顺序排序存储和链式存储的线性表，当为链式存储时，可以从前往后查找指定元素的位置。注意：大部分排序算法都仅适用于顺序存储的线性表。

2、折半插入排序

直接插入排序中，总是边比较边移动元素。下面将比较和移动查找分离开来，即先折半查找出元素的待插入位置，然后再统一的移动待插入位置之后的所有元素。当排序表为顺序存储的线性表时，可以对直接插入排序算法作如下改进：

    由于是顺序存储的线性表，所以查找有序子表时可以用折半查找来实现。在确定出待插入位置后，既可以统一的向后移动元素了。

public class InsertSort {
	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = new int[]{1, 2, 3, 8, 6, 7, 9};
		insertSort(arr);
	}
	
	public static void insertSort(int[] arr) {
		int i, j, high, low, mid, temp;
		
		for (i = 1; i < arr.length; i++) {
			low = 0;
			high = i - 1;
			temp = arr[i];
			while(low <= high) {
				mid = (low + high)/2;
				if(temp < arr[mid]) {
					high = mid - 1;
				}else {
					low = mid + 1;
				}
			}
			
			for (j = i-1; j > high; j--) {
				arr[j+1] = arr[j];
			}
			arr[high+1] = temp;
		}
		System.out.println(Arrays.toString(arr));
	}
}

不难看出折半插入排序仅仅是减少了比较元素的个数，约为O（Nlog2N），该比较次数与待排序表的初始状态无关，仅仅取决于表中的元素个数n；而元素移动的次数并没有改变，他依赖于待排序表的初始状态。因此，折半插入排序的时间复杂度仍为O（n2）。折半插入排序是一个稳定的排序方法。

3、希尔排序

    直接插入排序适用于基本有序的排序表和数据量不大的排序表。基于这两点，提出了希尔排序，又称为缩小增量排序。

    希尔排序的基本思想是：先将待排序表分割成若干个子表，分别进行直接插入排序，当整个表中的元素已呈“基本有序”时，再对全体记录进行一次直接插入排序。过程如下：

    先取一个小于n的步长d1，把表中的全部记录分成d1个组，所有的距离为d1的倍数的记录放在同一组中，在各组中进行直接插入排序；然后取第二个步长d2<d1，重复上述过程，直到所取到的dt=1;即所有的记录已放在同一个组中，再进行直接插入排序，由于此时已经具有较好的局部有序性，故很快可以得到结果。希尔排序提出的增量序列是：d1=n/2，d(i+1)=di/2（向下取  整），并且最后一个增量为1。

public class ShellSort {

	@Test
	public void shellSortTest() {
		int[] arr = new int[]{1, 10, 15, 2, 3, 8, 6, 7, 9};
		shellSort(arr); 
	}
	
	public void shellSort(int[] arr) {
		int length = arr.length;
		int k = 0;
		for (int i = length/2; i > 0; i=i/2) {
			// 对子表进行插入排序
			for (int j = i; j < length; j++) {
				if(arr[j] < arr[j-i]) {
					int temp = arr[j];
					for (k = j-i; k>-1 && temp<arr[k]; k-=i) {
						arr[k+i] = arr[k];
					}
					arr[k+i] = temp;
				}
			}
		}
		System.out.println(Arrays.toString(arr));
	}
}

空间效率：仅使用了常数个辅助单元，因而空间复杂度为O（1）；

时间效率：由于希尔排序的时间复杂度依赖于增量序列的函数，这涉及数学上尚未解决的难题，所以其时间复杂度分析比较困难。当n在某个特定范围内，希尔排序的时间复杂度约为O（ n^(1.3)）,在最坏的情况下时间复杂度是O（n^(2)）。

希尔排序是不稳定的排序算法，仅适用于当线性表为顺序存储的情况。

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