Description

A kite is a graph on an even number of vertices, say 2n, in which n of the vertices form a clique and the remaining n vertices are connected in a “tail” that consists of a path joined to one of the vertices of the clique. Given a graph and a goal g, the KITE problem asks for a subgraph which is a kite and which contains 2g nodes. Prove that KITE is NP-complete.

Thought

kite图具有偶数个顶点，一半的顶点形成一个团，另一半的顶点由tail的路径连接，tail的某个端点与团中的一个顶点相连。题目给定了一个图和一个目标g，要求一个含有2g个顶点且是kite图的子图。

可以将团问题归约到 KITE 问题。若要求图G（V，E）的最大团，可以在图G 中添加 V 个新顶点，并将每个新顶点都连向原图中不同的某个顶点，共形成了 V 条新边，这样就得了一个新图 ‘ G 。容易看出，在 ‘ G 中存在大小为2g 的kite 当且仅当G 中存在大小为 g 的团。

Solution

在图G=(V, E)中增加|V|个顶点，并将新增的每个顶点都分别与原先G中的不同顶点相连，因此形成|V|条新的边，记新形成的图为图G’。

如果G’中存在2g个顶点且是kite图的子图，则G’中一定含有g个顶点形成的团，即G中一定含有g个顶点形成的团。

如果G中存在含有g个顶点形成的团，则它与新加入的|V|条边形成了G’中顶点个数为2g的kite图。

因此，G’中存在大小为2g的kite图当且仅当G中存在大小为g的团，最大团问题可规约至kite问题，故kite问题为NP完全问题。