最大公约数和最小公倍数及其应用（Go语言解法）

2024年5月4日 180次阅读

最大公约数（greatest common divisor）

欧几里得辗转相除法：

gcd(x,y)表示x和y的最大公约数

进入运算时:x!=0,y!=0，本质上就是不断转换成求等价更小数的最大公约数。如果x%y=0，返回y，即最大公约数。
gcd(x,y)=gcd(y,x%y)

证明：
 设k=x/y，b=x%y  则：x=ky+b
如果n能够同时整除x和y，则(y%n)=0,(ky+b)%n=0，则b%n=0，即n也同时能够整除y和b。
由上得出：同时能够整除y和(b=x%y)的数，也必然能够同时整除x和y。故而gcd(x,y)=gcd(y,x%y)。当(b=x%y)=0，即y可以整除x，这时的y也就是所求的最大公约数了。

附上两条重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)，gcd(-a,b)=gcd(a,b)

最小公倍数（least common multiple）
公式解法：
最小公倍数=两数之积/最大公约数

package main

import (
	"fmt"
)

/*
*穷举法：最大公约数
 */
func gcdNormal(x, y int) int {
	var n int
	if x > y {
		n = y
	} else {
		n = x
	}
	for i := n; i >= 1; i-- {
		if x%i == 0 && y%i == 0 {
			return i
		}
	}
	return 1
}

/*
*辗转相除法：最大公约数
*递归写法，进入运算是x和y都不为0
 */
func gcd(x, y int) int {
	tmp := x % y
	if tmp > 0 {
		return gcd(y, tmp)
	} else {
		return y
	}
}

/*
*辗转相除法：最大公约数
*非递归写法
 */
func gcdx(x, y int) int {
	var tmp int
	for {
		tmp = (x % y)
		if tmp > 0 {
			x = y
			y = tmp
		} else {
			return y
		}
	}
}

/*
*穷举写法：最小公倍数
 */
func lcmNormal(x, y int) int {
	var top int = x * y
	var i = x
	if x < y {
		i = y
	}
	for ; i <= top; i++ {
		if i%x == 0 && i%y == 0 {
			return i
		}
	}
	return top
}

/*
*公式解法：最小公倍数=两数之积/最大公约数
 */
func lcm(x, y int) int {
	return x * y / gcd(x, y)
}

func main() {
	x, y := 12, 15
	fmt.Println("gcdNormal=", gcdNormal(x, y))
	fmt.Println("gcd=", gcd(x, y))
	fmt.Println("gcdx=", gcdx(x, y))
	fmt.Println("\nlcmNormal=", lcmNormal(x, y))
	fmt.Println("lcm=", lcm(x, y))
}

 

猜生日问题：

小明对生日十分看重，因为他可以得到祝福，可以和朋友亲人一起分享快乐，可以为自己的人生做一次总结，并且…能够收到好多礼物！

不过小明是个神祕的人，不会轻易告诉你他的生日，现在他想到一个办法，让你去猜他的生日是哪一天。

小明会告诉你如下三个信息：

1. 出生月份和出生日子的最大公约数；

2. 出生月份和出生日子的最小公倍数；

3. 出生年份；

现在要求你猜出小明的生日。   Input 第一行输入一个正整数T，表示总共有T组册数数据(T <= 200)；

对于每组数据依次输入三个数x，y，z，

x表示出生月份和出生日子的最大公约数(1<= x <=1000)；

y表示出生月份和出生日子的最小公倍数(1<= y <=1000)；

z表示出生年份（1900 <= z <= 2013）。

每组输入数据占一行。   Output 对于每组数据，先输出Case数。

如果答案不存在 ，输出“-1”；

如果答案存在但不唯一 ，输出“1”；

如果答案唯一，输出生日，日期格式为YYYY/MM/DD；  
直接给出Go语言实现代码（为便于测试输入问题已忽略）

package main

import (
	"fmt"
)

/*检查如期是否合法*/
func checkDate(y, m, d int) int {
	var arr [13]int = [13]int{0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31}
	//闰年
	if (y%4 == 0 && y%100 != 0) || y%400 == 0 {
		arr[2] = 29
	}
	if arr[m] < d {
		return 0
	}
	return 1
}

/*
*已知x和y的最小公倍数min和最大公约数max，求x和y
*由最小公倍数性质：min=x*y/max，所以x*y=max*min
*由最大公约数性质：x和y都可以写成max*n
 */
func rgcd(min, max, y int, m, d *int) int {
	var mMax, dMax, res, count, tmp int = 12 / max, 31 / max, min * max, 0, 0
	for i := 1; i <= mMax; i++ {
		for j := 1; j <= dMax; j++ {
			tmp = max * i * max * j
			if tmp > res {
				break
			} else if tmp == res {
				//计算得到的日期的合法，才加上
				tmpM := max * i
				tmpD := max * j
				if checkDate(y, tmpM, tmpD) == 1 {
					*m = tmpM
					*d = tmpD
					//fmt.Println(*m, *d)
					count++
				}
			}
		}
	}
	if count > 1 {
		return 1
	} else if count == 1 {
		return 0
	} else {
		return -1
	}
}

func main() {
	min, max, y, m, d := 24, 3, 1999, 0, 0

	fr := rgcd(min, max, y, &m, &d)

	if fr == 0 {
		fmt.Printf("%d/%02d/%02d", y, m, d)
	} else {
		fmt.Println(fr)
	}
}

 

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