转载：http://blog.csdn.net/akron/article/details/2626323

使用 FIR 滤波有很多优点，比如，总是可以通过先构造滤波器的幅频特性，然后逆变换（比如利用Inverse Fourier Transform) 得到离散的冲击响应序列。不过问题是，如果FIR 冲击响应不收敛，或收敛时间很长，这就需要大量的运算。即便是收敛快的，简单的 sinc 函数，为了保证效果，至少需要 16 点以上的序列。为减少运算量，迭代就会被考虑，也就是说，滤波器的离散公式为：

        y(k+1) = a0 * y(k) + a1 * y(k-1) + … + an*y(k-n)
            + b0*x(k) + b1*x(k-1) + … + bm*x(k-m)                                            (1)


  对照 FIR 的离散公式:
         y(k+1) = b0*x(k) + b1*x(k-1) + … + bm*x(k-m)
       where the impulse response series H = [b0, b1, …, bm] 
由于
y
的不断迭代，公式
(1)
中的每个
y
包含了以前所有输入
x
的信息，所以这种滤波器被称作无限冲击响应
(IIR)
滤波器
 
(Infinite Impulse Response Filter).
IIR
的设计需要一定的理论知识，比如
Laplace and Z transform.
好在一些强大的工具比如
matlab
可以把我们弱智化
,
只要我们画出幅频特性，计算机就会自动给出公式。不过，了解一些理论知识，总是没有坏处的。
先看看最简单，最常用的滤波器
—- RC
滤波器
,
不知道的
RC
滤波器的工程师赶快买个电阻撞死算了。
RC filter
的传递函数是：
         H(s) = Wc / (s + Wc)                                                                           (2)
         Where Wc = 1/RC is the desired bandwidth. 由于冲击信号的拉氏变换为1，所以一个线性系统的
传递函数就是系统的冲击响应。如果要把公式
(2)
离散化，那么我们先看看熟悉的积分器离散公式，假设
Ts
是采样时间：
           y(k) = y (k-1) + (x(k) +x(k-1)) * Ts /2                                                  (3)                                               
把公式
(3)
变换到
z
域
:
        Y = Y * z + (X + X *z) * Ts/2
        Y = Ts/2 * (1+z)/(1-z) * X



则积分器的
z
域传递函数是
:
        H(z) = Ts/2 * (1+z)/(1-z)                                                                      (4)
      


而积分器的
s
域传递函数是
H(s) = 1/ s,
所以可以得出
         s = 2/Ts * (1-z)/(1+z)                                                                         (5)
把公式
(5)
带入公式
(2)
，可得
:
         H(z) = Wc*Ts/(2+Wc*Ts)*(1 + z) / (z – (2-Wc*Ts)/(2+Wc*Ts))            (6)
这样，就可从
(6)
中得到
RC
滤波器的迭代公式：   
      y(k) = (2-Wc*Ts)/(2+Wc*Ts) * y(k-1)
              + Wc*Ts/(2+Wc*Ts)* (x(k) + x(k-1))                                              (7)


由于 Wc, Ts 都是常数，公式 （7）的运算量并不大。




由上可以看出，只要有传递函数， IIR 的迭代公式推导并不难。 许多滤波器比如
chebyshov
，
butterworth
，相关滤波器书上都有传递函数，通过
matlab
还是自己动手推导，都不是难题，就不囉嗦了。