问题： 求一个一位数组(N个元素)中最长递增子序列的长度。

例如： 在序列1，-1, 2，-3, 4，-5, 6，-7中，最长递增子序列为1,2,4,6.

解法一： 假设在目标数组array[]的前i个元素中，以array[i]为结尾的最长递增子序列的长度为LIS[i]。那么

LIS[i + 1] = max{1, LIS[k] + 1}, array[i + 1] > array[k], for any k <= i;

解法二： 解法一每次求LIS[i + 1]，需要遍历LIS[0…i]，时间复杂度为O(N*N)。如果LIS[]是排好序的，可以用二分搜索使复杂度降到O(N*logN)。

LIS[i]保存长度为i + 1的最长递归子序列的最大值(序列最后的一个值)的最小值。

C++实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int longestIncresingSubsequence1(int array[], int n)
{
	int ret = 1;
	int *LIS = new int[n];
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		LIS[i] = 1;
		for (int j = 0; j < i; ++j)
		{
			if (array[i] > array[j] && LIS[j] + 1 > LIS[i])
			{
				LIS[i] = LIS[j] + 1;
			}
		}
	}
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		ret = (ret < LIS[i]) ? LIS[i] : ret;
			
	delete []LIS;
	return ret;
}

int longestIncresingSubsequence2(int array[], int n)
{
	int *LIS = new int[n];
	LIS[0] = array[0];
	int nMaxLIS = 0;
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		int m;
		int l = 0, r = nMaxLIS;
		while (l <= r)
		{
			m = (l + r) / 2;
			if (array[i] < LIS[m])
				r = m - 1;
			else if (array[i] > LIS[m])
				l = m + 1;
			else
				break;
		}
		if (array[i] == LIS[m])
			continue;
		if (m == nMaxLIS)
		{
			if (array[i] > LIS[m])
			{
				nMaxLIS++;
				LIS[nMaxLIS] = array[i];
			}
			else if (array[i] < LIS[m])
			{
				LIS[m] = array[i];	
			}
		}
		else if (array[i] < LIS[m])
			LIS[m] = array[i];
		else if (array[i] > LIS[m] && array[i] < LIS[m + 1])
		{
			LIS[m + 1] = array[i];
		}
	}
	
	delete []LIS;
	return nMaxLIS + 1;
}

int main()
{
	int Seq[8] = {1, -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7};
	
	cout << longestIncresingSubsequence1(Seq, 8) << endl;
	cout << longestIncresingSubsequence2(Seq, 8) << endl;
}