看了网上其他同学给出的算法及其证明，但没有看懂证明过程，遂自己思考后写了本文，主要是为了证明算法的正确性。

问题描述

大小为n的数组，要求随机打乱数组元素顺序，并且使得任意元素在任意位置的概率相同，即为 1n 。

算法

本文直接给出比较流行的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)算法。

void Shuffle(int *array,int size)
{
    for(int i=1;i<size;i++)
    {
        int index = Rand(0,i);
        std::swap(array[i],array[index]);
    }
}

证明

定理：根据上述算法，任意元素放入任意位置的概率为 1n 。

分析：使用数学归纳法进行证明，我只给出前3个元素的分析过程。
1.当n=1时，一个元素放在一个位置的概率为1
2.当n=2时，根据算法，第一个位置已经暂且定下位置。第二个元素只能随机两个数字，概率均为 12 ，第一个元素要么和第二个元素置换，要么位置不变，两个元素在任意这两个位置的概率都是 12 。
3.当n=3时，根据算法，前两个元素已经暂且定下位置。我们先看看第3个元素在任意位置的概率是多少？就是 13 ，因为随机出来的3个数字的概率相同。在没有第3个元素和第3个位置时，前两个元素的任意位置概率是 12 ，那现在有3个位置，自然概率就要变化：假设第一个位置的元素值是10，那么这个10现在只有两种情况，要么保持位置不变，要么和第3个位置交换。
1）保持位置不变的概率是10在前两个位置的概率乘以新随机的数不是该位置的概率，即 12×(1−13) ，结果是 13 。
2）与第3个位置进行交换的概率是10在第一个位置的概率乘以随机出第一个位置数的概率加上10在第二个位置的概率乘以随机出第二个位置数的概率，即 12×13+12×13 ，结果为 13 。
综上，第一个位置的随机到任意位置的概率为 13 。第二个位置也可以这么证明，所以干脆下面证明时直接说是任意一位置。

证明： 基础步骤： 当n=1时，第一位置元素只能随机出1，概率为1，定理成立。
归纳步骤： 当n=k，k个元素在任k个位置的概率均为 1k 成立。
当n=k+1,第k+1位置的元素在任k+1个位置的概率是 1k+1 ，因为随机出k+1个数概率是一样的。前k个元素的概率发生了变化，任意一元素保持位置不变的概率为 1k×(1−1k+1) ,结果为 1k+1 ;任意一元素与第k+1元素进行置换的概率为 ∑k1(1k×1k+1) ,结果为 1k+1 ,综上，前k个元素在任意位置的概率为 1k+1 。
定理成立，证毕。