原文地址:http://duras.wang/blog/2016/03/18/algorithms01/
斐波那契数列中每个数都是其两个直接前项的和,其生成规则如下所示:
Fn=⎧⎩⎨Fn−1+Fn−210如果n>1如果n=1如果n=0 .
指数算法
要求斐波那契数列的第n项值一种简单的方法就是使用递归
function fib(n)
if n=0: return 0;
if n=1: return 1;
return fib(n-1)+fib(n-2);
但是使用递归来计算第n项,它消耗的资源是指数级增长的。如下图所示,一个fib(n)会触发一连串的递归操作,而这些操作中有很多步骤是重复的。因此,这个算法虽然正确,但是效率太低。
多项式算法
递归的方法对资源的消耗太大,更合理的方法是使用循环来完成,随时保存中间结果。
function fib(n)
if n=0: return 0;
create an array f[0…n]
f[0]=0,f[1]=1
for i=2…n:
f[i]=f[i-1]+f[i-2]
return f[n]
矩阵算法
首先,对于数列的初始条件对应以下的矩阵运算
(F1F2)=(0111).(F0F1)
更一般化地,有
(FnFn+1)=(0111).(Fn−2Fn−1)
所以,可以得到:
(FnFn+1)=(0111)n.(F0F1)
综上所述,要的出斐波那契数列的第n项,实际上就是对一个二维矩阵求n次幂。采用矩阵的快速幂算法,操作次数优化为O(log n)。
以下为java实现的三种计算斐波那契数列第n项算法:
import java.util.Scanner;
public class Fibonacci {
public static void main(String argv[]) {
// 输入
System.out.print("请输入一个整数:");
Scanner x = new Scanner(System.in);
int n = x.nextInt();
// 运算
Fibonacci fib = new Fibonacci();
long fibn = fib.fib3(n);
// 结果显示
System.out.println("fib(n)=" + fibn);
}
/** * 指数算法 n大于40延时就明显了 * @param n * @return */
public long fib1(int n) {
if (n == 0) {
return 0;
}
if (n == 1) {
return 1;
}
return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}
/** * 多项式算法 由于long的范围限制,结果在n属于[0,92]正确。 * 当n为8个9时有明显延迟(已溢出) * @param n * @return */
public long fib2(int n) {
if (n == 0)
return 0;
long[] f = new long[n + 1];
f[0] = 0;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
return f[n];
}
/** * 矩阵算法 n在[0,92]内结果正确 * 当n为9个9时仍然无明显延迟(已溢出) * @param n * @return */
public long fib3(int n) {
Matrix2 m=new Matrix2(0,1,1,1);
m=m.fastPower(n);
return m.getMatrix()[0][1];
}
}
/** * 二维矩阵类 * 功能实现:矩阵乘法;快速求幂; * @author Moilk * */
class Matrix2 {
private long[][] pmatrix;
public Matrix2() {
pmatrix = new long[2][2];
}
public Matrix2(long a, long b, long c, long d) {
setMatrix(new long[][] { { a, b }, { c, d } });
}
/** * 快速幂 * @param n 幂 * @return 运算结果 */
public Matrix2 fastPower(int n){
Matrix2 result=new Matrix2(1,0,1,0); //初始化为单位矩阵
Matrix2 tmp=this;
while(n!=0){
if((n&1)==1){
result=multi(result,tmp);
}
tmp=multi(tmp,tmp);
n>>=1;
}
return result;
}
/** * 矩阵乘法 * @param m1 矩阵1 * @param m2 矩阵2 * @return 乘积 */
public Matrix2 multi(Matrix2 m1,Matrix2 m2) {
Matrix2 tmp = new Matrix2();
tmp.getMatrix()[0][0] = m1.getMatrix()[0][0] * m2.getMatrix()[0][0] + m1.getMatrix()[0][1] * m2.getMatrix()[1][0];
tmp.getMatrix()[0][1] = m1.getMatrix()[0][0] * m2.getMatrix()[0][1] + m1.getMatrix()[0][1] * m2.getMatrix()[1][1];
tmp.getMatrix()[1][0] = m1.getMatrix()[1][0] * m2.getMatrix()[0][0] + m1.getMatrix()[1][1] * m2.getMatrix()[1][0];
tmp.getMatrix()[1][1] = m1.getMatrix()[1][0] * m2.getMatrix()[0][1] + m1.getMatrix()[1][1] * m2.getMatrix()[1][1];
return tmp;
}
public long[][] getMatrix() {
return pmatrix;
}
public void setMatrix(long[][] pmatrix) {
this.pmatrix = pmatrix;
}
}