深度优先搜索（DFS）第七届蓝桥杯国赛 机器人塔

2024年6月11日 148次阅读

机器人塔

X星球的机器人表演拉拉队有两种服装，A和B。 他们这次表演的是搭机器人塔。

类似：

A
B B
A B A
A A B B
B B B A B
A B A B B A
队内的组塔规则是：
A 只能站在 AA 或 BB 的肩上。 B 只能站在 AB 或 BA 的肩上。

你的任务是帮助拉拉队计算一下，在给定A与B的人数时，可以组成多少种花样的塔。

输入一行两个整数 M 和 N，空格分开（0 < M,N < 500）,分别表示A、B的人数，保证人数合理性。

要求输出一个整数，表示可以产生的花样种数。

例如：
用户输入：
1 2

程序应该输出：
3

再例如：
用户输入：
3 3

程序应该输出：

4

解决思路

  • 姑且认为合理的人数是可以人数可以把三角形金字塔全部占满，否则题目中的输出就是错误的
  • 首先得知A+B最大人数不超过1000，通过打表得知三角形金字塔塔底最大人数为【1，44】之间，而确定了塔底的AB排列即可确定上面的排列。
  • 因此可以对塔底的每一种情况进行深度优先搜索
#include <iostream>
using namespace std;

int ak[100];
int map[47][47];
int a, b;
int res = 0;

void dfs(int index, int maxN) {
    if (index > maxN)return;
    if (index == maxN) {
        if (a == 0 && b == 0) { // 这里考虑的是A+B等于1的情况，实际上没有这种数据
            res++;return;
        }
        int ta = a;
        int tb = b;
        for (int i = maxN - 1;i >= 1;i--)
            for (int j = 0;j < i;j++) {
                map[i][j] = map[i + 1][j] ^ map[i + 1][j + 1];
                if (map[i][j] == 0)
                    ta--;
                else
                    tb--;
            }
        if (ta == 0 && tb == 0) {
            res++;return;
        }
    }
    if (a > 0) {
        map[maxN][index] = 0;
        a -= 1;
        dfs(index + 1, maxN);
        a += 1;
    }
    if (b > 0) {
        map[maxN][index] = 1;
        b -= 1;
        dfs(index + 1, maxN);
        b += 1;
    }

}

int main() {

    cin >> a >> b;
    int n = 0;  // 底层人数
    for (int i = 1;i < 45;i++) {
        ak[i] = ak[i - 1] + i;
        if (ak[i] == a + b) {
            n = i;
            break;
        }
    }

    dfs(0, n);

    cout << res << endl;

    return 0;
}

效率更高的算法

  • 设A为0 B为1（如果要利用位运算 ）
  • 假如 底层为 10111，则上一层为 1100 可以表示为 10111^1011&1111=1100 ,即通过位运算来计算上层的排列（其中1111中1的个数为当前计算层的人数）
#include <iostream>
typedef long long ll;
using namespace std;

int ak[100];
int map[47];
int a, b, ta, tb;
ll res = 0;

void solve(int num, int c) { // 组合情况 组合人数
    while (c--) {
        if (num & 1)
            tb++;
        else
            ta++;
        num = num >> 1; 
    }
}

int main() {
    cin >> a >> b;
    int n = 0;  // 底层人数
    for (int i = 1;i < 45;i++) {
        ak[i] = ak[i - 1] + i;

        if (a + b == ak[i]) {
            n = i;
            break;
        }
    }

    int maxn = 1 << n;
    for (int i = 0;i < maxn;i++) { //取到底层AB排列的每一种可能
        ta = 0;
        tb = 0;
        map[n] = i;
        solve(map[n], n);
        for (int c = n - 1;c > 0;c--) {
            map[c] = (map[c+1]^(map[c+1]>>1))&(1<<c-1);
            solve(map[c], c);
        }
        if (ta == a && tb == b)
            res++;
    }
    cout << res << endl;

    return 0;
}
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