欧几里德算法(gcd)又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本思路：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

代码（python）：

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1. def gcd(a,b):  
2.     if b==0:  
3.         return a  
4.     else:  
5.         return gcd(b,a%b)  

扩展欧几里得算法（egcd）：

基本思路：对于不全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。
　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
　　2，ab!=0 时
　　设 ax1+by1=gcd(a,b);
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2
　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码（python）：

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1. def egcd(a,b):  
2.     if b==0:  
3.         return 1,0  
4.     else:  
5.         x,y=egcd(b,a%b)  
6.         return y,x-a/b*y  

要理解代码，关键在于知道x，y递归关系的推导过程。