CCF认证考试(java)---有趣的数

2024年6月9日 124次阅读

问题描述

试题编号： 201312-4
试题名称： 有趣的数
时间限制： 1.0s
内存限制： 256.0MB
问题描述：
问题描述
　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3

解答

这道题如果有过dp（动态规划）的经验的话，可能做的很快，但是如果没有的话，可能会遇到麻烦，我最后看了官网给的答案，也是使用动态规划的思想，说一说我的思路吧。

首先，两个动态增加的量，一个是数字的位数N，另一个是0、1、2、3中出现的个数（虽然要求都至少出现一次，但是为了维护思想的完整性，所以从出现1个，2个。。。一直递推到4个，额，好像1个、2个完了后，再有个3个就递推到4个了，算了，不要在意这些细节）。数字的位数从1增加到N没有问题。关键我们来看看第二个增量。
首先，根据题目要求，如果出现一个数字，这个数字只有可能是2，所以出现一个数字，只有一种情况，我们约定为状态1.
如果出现两个数字，根据动态规划的思想，在必须有一个2的情况下，就有可能是2、0，2，3两种情况，我们分别约定为状态2，状态3.
如果出现三个数字，根据动态规划的思想，在必须有两个数字是2、0，或者2、3的情况下，可能出现2、0、1，2、0、3两种情况。我们约定为状态4，状态5.
如果出现4个数字就是2、0、1、3着一种情况啦，我们约定为状态6.
//2
//2 0
//2 3
//2 0 1
//2 0 3
//2 0 1 3
根据动态规划的思想：
前n步所有的最优解=前n-1步所有的最优解+第n步的最优解。
所以状态2和状态3的最优解，依赖于状态1；状态4的最优解依赖于状态2，状态5的最优解依赖于状态2和状态3，状态6的最优解，依赖于状态4和状态5.
使用一个二维数组a[N][6],横座标表示数位N，纵座标表示刚才的6种状态。数组的值，就表示满足两个增量的数的个数，比如a[5][4]，就表示有6位，满足状态5，的不同数字的个数。所以我们这道题需要的答案就是输出a[N-1][6]啦。
假设一个n+1位数,即a[n]i,那么
满足状态1：
a[n][0]=a[n-1][0]*1:状态1只能继承第n-1位的状态1,a[n-1][0]的最优解
a[n][1]=a[n-1][1]*2+a[n-1][0]*1:状态2依赖于状态1的最优解，状态1只有增加一个0这一种请况，变成状态2.继承第n-1位的状态2，a[n-1][1]，即之前n-1位已经包含2和0两个数字，所以第n位就可以随意选择2或者0,有两种情况。
a[n][2]=a[n-1][2]*1+a[n-1][0]*1:同状态2,注意因为出现了3，所以继承第n-1位时，只能出现3.
a[n][3]=a[n-1][3]*2+a[n-1][1]*1：继承a[n-1][3],则第n位可以出现2和1两种情况；状态2只能增加一个1到状态4；
a[n][4]=a[n-1][4]*2+a[n-1][1]*1+a[n-1][2]*1:同状态4
a[n][5]=a[n-1][5]*2+a[n-1][3]*1+a[n-1][4]*1;同上

然后用一个循环表示从1到n位：
a[0][0]=1;
for(int i=1;i

代码

package test;

import java.util.Scanner;

public class Main2013124 {
    public static void main(String[] args){
        Scanner in=new Scanner(System.in);
        int N=in.nextInt();
        long a[][]=new long[N][6];
        int j=0;
        long mod=1000000007;
        //2
        //2 0
        //2 3
        //2 0 1
        //2 0 3
        //2 0 1 3
        a[0][0]=1;
        for(int i=1;i<N;i++){
            j=i-1;
            a[i][0]=(a[j][0]*1)%mod;
            a[i][1]=(a[j][0]*1+a[j][1]*2)%mod;
            a[i][2]=(a[j][0]*1+a[j][2]*1)%mod;
            a[i][3]=(a[j][1]*1+a[j][3]*2)%mod;
            a[i][4]=(a[j][1]*1+a[j][2]*1+a[j][4]*2)%mod;
            a[i][5]=(a[j][3]*1+a[j][4]*1+a[j][5]*2)%mod;        
        }
        System.out.println(a[N-1][5]);
    }
}

去oj上跑时，注意去掉包名和改类名。

**

关于动态规划：

**
如果没有动态规划经验的童鞋，建议先百度学习下动态规划。我的讲解能力确实不高，，，我有自知之明，害怕误导童鞋们。dp的思路用的地方非常的多，说点现实点的吧，不止ccf的认证有动态规划的题，大公司招聘也到处都是动态规划的题，我记得百度有一次的实习生招聘就有个度度熊吃饭问题，也是需要使用动态规划思想解决，而且那个题是个比较典型的01动态规划问题，我也想好久写篇博文我们一起探讨下，我拿到过阿里秋招实习生和IBM的实习生offer，给我的感觉，大公司对于算法很重视，对于算法考覈很严格，我们还需要多下下功夫。吐槽下学院的数据结构考试，我周围随便一个人都可以上90。。。哪怕是一些把代码背下来，几乎不会编程的妹…（………(￣ε(#￣)☆╰╮o(￣皿￣///)…）所以，真正学到了多少东西还是只有我们自己明白啊。～～

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