线段树

2024年6月9日 142次阅读

线段树：记录区间统计信息。原理是将将[1,n]分解成若干特定的子区间(数量不超过4*n),然后，将每个区间[L,R]都分解为少量特定的子区间，通过对这些少量子区间的修改或者统计，来实现快速对[L,R]的修改或者统计。可以记录的统计值必须符合区间加法。

符合区间加法的例子：数字之和，最大公因数，最大／小值。


不符合区间加法的例子：
众数——只知道左右区间的众数，没法求总区间的众数
01序列的最长连续零——只知道左右区间的最长连续零，没法知道总的最长连续零

基本的数据结构：Node: left, right(左右子树)； startIndex, endIndex(统计区间)； value（区间统计值）

Interface: 

  1. buildTree: 递归和非递归。 根节点记录整个数组的统计信息，叶子节点的startIndex = endIndex。假设父节点的区间为［start, end］,最简单的方式是将左右子树的区间分别设为［start, (start+end)/2］, [(start+end)/2+1, end]。若用递归方式实现，结束条件为到达叶子节点（start == end）, 否则分别构造左子树和右子树，并用左右子树的value来设置父节点的value.
  2. query: 给区间[i, j], 得到对应的统计值。用递归方式实现，
        结束条件：若当前root.start, root.end刚好等于[i, j]，则返回对应的统计值；
        否则[i, j]有可能在左子树中或右子树中或左右子树都有。
            若root.left.endIndex >= i， left = query(root.left, i, Math.min(root.left.endIndex, j)); //make sure use the min of root.left.endIndex and i
              若root.right.startIndex <= j， right = query(root.right, Math.max(root.right.startIndex, i), j); 
              return left + right;
  3. update: 更新a[i]时，所有区间中包含i的统计信息都要做相应调整。参数root, i, newValue. 以递归方式实现，
        结束条件：当前节点为叶子节点(startIndex = endIndex = i), 则更新root.value即可
        否则看i 在左子树(i <= root.left.endIndex)还是右子树(i >= root.right.startIndex)中，更新对应子树的value(update(root.left/right, i, newValue))；最后别忘了回溯，用更新后的左右子树的值更新父节点的值(root.value = root.left.value + root.right.value).

使用上述实现，每次更新一个值都需要遍历一边树。更机智的做法是不需要确实更新值，而是在节点上记录一个pendingOperation(标记)，所有记录了pendingOperation的节点的子树上节点的值都变成无效的，在查询时需要根据标记更新本节点的统计信息。比如，如果本节点维护的是区间和，而本节点包含5个数，那么，打上+1的标记之后，要给本节点维护的和+5。这是向下延迟修改，但是向上显示的信息是修改以后的信息，所以查询的时候可以得到正确的结果。有的标记之间会相互影响，所以比较简单的做法是，每递归到一个区间，首先下推标记（若本节点有标记，就下推标记），然后再打上新的标记，这样仍然每个区间操作的复杂度是O(log2(n))。  标记有相对标记和绝对标记，相对标记是将区间的所有数+a之类的操作，标记之间可以共存，跟打标记的顺序无关（跟顺序无关才是重点），所以可以在区间修改的时候不下推标记，留到查询的时候再下推。

      注意：如果区间修改时不下推标记，那么PushUp函数中，必须考虑本节点的标记。
               而如果所有操作都下推标记，那么PushUp函数可以不考虑本节点的标记，因为本节点的标记一定已经被下推了（也就是对本节点无效了）
绝对标记是将区间的所有数变成a之类的操作，打标记的顺序直接影响结果，所以这种标记在区间修改的时候必须下推旧标记，不然会出错。





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