堆排序

堆排序是另一種選擇排序方法,它是樹型選擇排序的改進,它使用的輔助空間較少,僅需要一個元素用於空間交換。

堆:根結點的關鍵碼值或者大於左右子樹或者都小於左右子樹,而且左右子樹也是堆。

如果每個結點的值都大於左右子樹關鍵碼值,稱之爲大頂堆。每個結點的值都小於左右子樹的關鍵碼值,稱之爲小頂堆。

首先,堆是一個完全二叉樹。堆排序包含兩個過程:

(1)初建堆

(2)調整堆

調整堆:對於第二個過程,描述如下,第一次,取出堆頂元素與R[n]進行交換,然後從根結點開始調整堆,根結點與左右孩子中較大者交換,這樣，左右子樹的堆會被破壞,繼續進行上述操作,直到葉子結點爲止。第二次,取出堆頂元素與R[n-1]交換,然後調整堆。

初建堆:從非終端結點開始一直到根結點,執行調整堆的過程。這樣,就會建立一個大頂堆。

如果排序過程中,是按照從小到大正序,那麼建立一個大頂堆。如果是逆序就建立一個小頂堆。

堆排序算法的JAVA實現:

/**
 * 堆排序包括兩個步驟 (1)初始堆(堆的定義：(1)堆是一個完全二叉樹(2)根結點的值或者大於左右子樹的值或者小於左右子樹的值(3)左右子樹也是一個堆)
 * (2)調整堆(當初始小頂堆之後，堆頂元素是最小的元素，取出最小的元素與最後一個元素相交換，再把剩下n-1個元素調整成堆,依次調整直到1爲止)
 * 非終端節點調整 初始堆時從n/2向上調整成堆 把第一個元素與最後一個元素交換之後從第1個元素開始調整成新堆
 * 
 * @author Administrator
 * 
 */
public class HeapSort {
 public static void main(String[] args) {
  int num[] = new int[] { 0, 5, 40, 32, 2, 2221 };
  heapsort(num, 5);
  for (int x = 0; x < num.length – 1; x++) {
   System.out.print(num[x + 1] + ” “);
  }
 }

//調整堆

 public static void adjustHeap(int[] num, int s, int t) {

  int i = s;
  int x = num[s];
  for (int j = 2 * i; j <= t; j = 2 * j) {
   if (j < t && num[j] < num[j + 1])
    j = j + 1;// 找出較大者把較大者給num[i]
   if (x > num[j])
    break;
   num[i] = num[j];
   i = j;

  }

  num[i] = x;

 }

 public static void heapsort(int[] num, int n) {
  // 初始建堆從n/2開始向根調整

  int i;
  for (i = n / 2; i >= 1; i–) {

   adjustHeap(num, i, n);//初始堆過程
  }

  for (i = n; i > 1; i–) {
   num[0] = num[i];// 將堆頂元素與第n,n-1,…..2個元素相交換
   num[i] = num[1];
   num[1] = num[0];// 從num[1]到num[i-1]調整成新堆
   adjustHeap(num, 1, i – 1);

  }

 }

}

性能分析:

時間複雜度:

堆是一個完全二叉樹,設樹高爲k=log2n+1,從根到葉的調整,關鍵碼比較的次數爲2(k-1)，交換的次數至多爲k次。所以比較的次數不超過

2*(log2(n-1)+log2(n-2)+….+log22)<2nlog2n

而比較的次數不超過4n.所以堆排序的時間複雜度爲O(nlogn).

空間複雜度:

需要一個單元的輔助空間用於交換,所以輔助空間爲O(1).

穩定性:

堆排序調整過程中存在着交換,所以堆排序是一個不穩定的排序算法。

堆排序的實例過程可以參考http://blog.sina.com.cn/s/blog_534408920100acqv.html.