OpenJ_Bailian - 2757 最长上升子序列（O(n2)算法和O(nlogn)算法）

2024年2月6日 333次阅读

一个数的序列 
bi，当 
b1 < 
b2 < … < 
bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列( 
a1, 
a2, …, 
aN)，我们可以得到一些上升的子序列( 
ai1, 
ai2, …, 
aiK)，这里1 <= 
i1< 
i2 < … < 
iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8). 

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。 Input输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。 Output最长上升子序列的长度。 Sample Input

7
1 7 3 5 9 4 8

Sample Output

4

 【题解】首先介绍O(n2)算法

 定义dp[i] 为以i结尾的最长上升子序列的长度

 以ai结尾的最长上升子序列的长度为dp[i]和dp[j]+1中较小的一个，（j<i），最后答案就是dp[n]，n为元素个数。

  【代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int m,n;
int dp[100000];

int main()
{
    int a[100000];
    while(~scanf("%d",&m))
    {
        for(int i=0;i<m;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        int ans=0;

        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            dp[i]=1;
            for(int j=0;j<i;++j)
            {
                if(a[i]>a[j])
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}


  接下来介绍复杂度O(nlogn)算法

  最开始全部初始化为INF，然后由前到后逐个考虑数列的元素，对于每个a[j]，如果i=0或者dp[i-1]<a[j]的话，就用dp[i]=min(dp[i],a[j])更新，最终找出使得dp[i]<INF的最大元素下标，此下标值i+1就是最长序列值了，因为dp数列中除了INF外都是单调递增的，所以可以用二分查找，这样整个过程的时间复杂度就降到了nlogn，这个过程中可以用函数lower_bound，此函数具体介绍参阅 http://blog.csdn.net/qq_38538733/article/details/75212045

 【代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int m,n;
int a[100000];
int dp[100000];
const int INF=1e9+7;

int main()
{
    while(~scanf("%d",&m))
    {
        for(int i=0;i<m;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        int ans=0;
        fill(dp,dp+m,INF);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            *lower_bound(dp,dp+m,a[i])=a[i];
        }
        printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+m,INF)-dp);
    }
    return 0;
}

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