求第n个数的值

2019年11月6日 141次阅读

第一题是网易互联网2015年的c/c++后台开发的编程题，题目的title似乎叫股神，大意可以简化为以下：

 

股票买进的价格为1，以后的第一天价格不变，第二天涨一天，第三天跌一天，接着涨两天，跌一天，张三天，跌一天。。。为方便起见，设每天增量或减量均为1，求第n天股票的价格？

解题思路：本题可以用传统的程序员思维解题，即从第一天开始计数，并用一个变量用来控制涨的循环次数，逐步累加，直到n天。此算法的复杂度为O(N),并无出彩地方，此处提供一种数学方法，可以讲算法复杂度将为O(1)

将涨跌看做一个整体，算出第n次涨跌后的总天数sum（n）

sum(0) = 1;

sum（1） = 1+1+1；

sum（2） = 1+1+2+2；

sum（3） = 1+1+2+3+3；

……..

sum(n) = 1+1+2+3+..n+n = 1+(1+n)*n/2+n  这是sum的通项

对此可以列出不等式

《求第n个数的值》

n为正整数，对x取整，可以得到第n天之前涨跌的次数x；这时n-sum(x)必定处于涨潮之内（想想为什么？）此时，可以求得第n天的股价为

n-sum(x)+sum(x)-2*x = n-2*x；

代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

//this is the version without using sqrt function to find i
int find_index(const int &n){
	int i=1,sum=0;
	for(;i<=n;i++){
		sum += i;
		sum++;
		if(sum > n)
		    break;
	}
	return i-1;
}

int main()
{
	int n;
	while(cin >>n){
//		int k = find_index(n-1);
        int k = (-3+sqrt(1+8*n))/2;
		cout <<n-2*k <<endl;
	}
	return 0;
}

第二题是indeed公司的某道笔试题，题目大致意思如下：

对于平面座标系上的所有整数座标，规定每个座标点的大小如下：

点A（xA,yB）and  B(xB,yB)

若|xA|+|yA| >|xB|+|yB| 则点A大于点B，若绝对值之和相等，则比较x座标的绝对值，若仍然相等，则比较x的大小，具有较大x值得点较小（譬如点（1,5）小于（-1,5），因为前一个座标的x轴数值较大）；再相等的话比较y的大小，具有较大y值的点较小；

将平面上所有点按从小到大排序，求出第n个点

此题的解题思路与上述题目一致，即先定义点的长度为座标点绝对值之和，先求出第n个点的长度，接着求出改点在该长度中的位置。譬如

长度为1的点有(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)

长度为2的点有（2,0）（-2,0）（1,1）（1,-1）（-1,1）（-1，-1）（0,2）（0，-2）

。。。

对于长度为n的点，其个数a，不难写出其通项公式：

a(0) = 1;

a(1) = 4;

a(2) = 8;

a(i) = 4*i;   // i 大于等于1

其前n项和为sum（n）

《求第n个数的值》《求第n个数的值》《求第n个数的值》

先求出第n个点的长度

《求第n个数的值》《求第n个数的值》《求第n个数的值》

如果remain为0，则第n个点就是（0，-i），否则，第n个点的长度为1+i，再根据remain的大小找出在长度为i+1的点中找出其第remain个点，即是所求点

以下是参考代码，若有bug,欢迎各位同行校正指出

代码提供了两个版本，一个是利用累加的方法求得i，另一个是利用数学计算；

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;
//initial value of sum is 1 which correspond to (0,0)
int find_index(const int &n,int &sum){
	int i=0;
	while(1){
		int a = 4*i;
		sum += a;
		if(sum > n){
			sum -= a;
			break;
		}
		i++;
	}
	return i;
}

//the value of x is greater or equal to 1
int find_index(const int &n){
	int x = (sqrt(2*n-1)-1)/2+1;
	return x;
}

int find_position(int &remain,int &x){
	int y = 0;
	if(!remain){     //on the boundary
		y = 1-x;
		x = 0;
		return y;
	}
	if(x ==1){        //the length is 1
		if(remain == 2)
		    x = -1;
		else if(remain == 3){
			x = 0;
			y =1;
		}
	}else if (remain == 2)   //the length is greater than 1
	    x = -x;
	else if(remain > 2){
		int i = (remain - 2)/4+1;
		remain -= 2+4*(i-1);
	    switch (remain){
		    case 0:{
		    	x = i-x-1;
		    	y = 1-i;		    		 
		    	break;
		    }
            case 1:{
            	x = x-i;
            	y = i;
            	break;
            }
		    case 2:{
		    	x = x-i;
		    	y = -i;
			    break;
		    }
		    case 3:{
		    	x = i-x;
		    	y = i;
		    	break;
		    }
		}
	}		
    return y;
}

int main()
{
	int n=0;
	while(n++ <30){
		int x,sum,y,remain;
		x = find_index(n);
		sum = 1+2*x*(x-1);
		remain = n-sum; 
        y = find_position(remain,x);
		cout <<'(' <<x <<',' <<y <<')' <<endl;
	}
	cout <<"teset end!"   <<endl;
	return 0;
}

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