斐波那契数的皮萨诺周期

2019年11月6日 169次阅读

斐波那契数的皮萨诺周期

  • fibonacci数为f0=0, f1=1, fi = f(i-1)+f(i-2)
  • pisano period指的是一个序列对n取模后的周期
  • fibonacci的周期性明显可见
    • 对2取模结果为：0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
    • fibonacci对3取模结果为：0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1
  • 此性质在用于计算超大fibonacci数时非常有用，以下为数个例子

fibonacci序列之和的最低位

  • 首先计算出模10的pisano period，再根据周期性求解

    int pisano(long long n, long long m, vector<long long>& v){
    long long a = 0;
    long long b  = 1;

    v.push_back(0);
    v.push_back(1);
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        long long t = b;
        b = a + b;
        a = t;
        b %= m;

        v.push_back(b);

        if(i & 1 == 1){
            int r = (i >> 1) + 1;
            int j = 0, k = r;

            /* for(auto e:v)
                cout << e << ' ';
            cout << endl; */

            for(; k <= i; j++, k++){
                if(v[j] != v[k])
                    break;
            }
            //cout << k << ' ' << i << endl;
            if(k == i+1)
                return r;
        }
    }
    return 0;
}


long long fibonacci_sum_best(long long n) {
    if (n <= 1)
        return n;

    vector<long long>v;
    int p = pisano(n, 10, v);
    // for(auto e:v)
        // cout << e << ' ';
    // cout << endl;

    // cout << "get pisano " << n << " " << p << endl;

    if(p == 0)
        return accumulate(v.begin(), v.end(), 0) % 10;
    else{
        int period_sum = accumulate(v.begin(), v.end(), 0) % 10;
        int c = n / p;
        int sum = accumulate(v.begin(), v.begin() + (n % p) + 1, 0) + period_sum * c;
        return sum % 10;
    }
}

作者Focustc，来自于
CSDN

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