数据结构中树的直径问题

2024年1月15日 210次阅读

树的直径是指树的最长简单路。求法: 两遍BFS :先任选一个起点BFS找到最长路的终点，再从终点进行BFS，则第二次BFS找到的最长路即为树的直径；
原理: 设起点为u,第一次BFS找到的终点v一定是树的直径的一个端点
证明:
1) 如果u 是直径上的点，则v显然是直径的终点(因为如果v不是的话，则必定存在另一个点w使得u到w的距离更长，则于BFS找到了v矛盾)
2) 如果u不是直径上的点，则u到v必然于树的直径相交(反证),那么交点到v 必然就是直径的后半段了
例题：

大臣的旅费

很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。
为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。
J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。
聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。
J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式：
输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数
城市从1开始依次编号，1号城市为首都。
接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）
每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。

输出格式:
输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

样例输入:
5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

样例输出:
135

样例说明:
大臣J从城市4到城市5要花费135的路费。

资源约定：
峯值内存消耗 < 64M
CPU消耗 < 5000ms

这道题是蓝桥杯省赛（2014年）的最后一道题，测试数据中最大是10000个城市，显然不能选用邻接矩阵(int a[10000][10000]得400MB内存） 所以我们选用树来存放数据（我当时选用是图的邻接表，没有回路的图，其实也是树，实质一样）
我是用深度优先搜索，代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct Node{
    int len;
    int q;
    Node *next;
};

struct NodeList{
    Node *firstNode;
};

NodeList a[10001]; //存放城市的节点
int b[10001];  //判断是否走过了这个城市
int n;
int at;
int max;
int count;
int cc;

void Insert(int p, int q, int d);
void f(int i);

int main()
{
    int i, p, q, d;
    for (i = 1; i < 10001; ++i)
    {
        a[i].firstNode = NULL;
    }
    scanf("%d", &n);
    for (i = 1; i < n; ++i)
    {
        scanf(" %d %d %d", &p, &q, &d);
        Insert(p, q, d);
        Insert(q,p,d);
    }
    f(1);//用到了树直径知识
    count = 0;
    f(cc);
    printf("%d", (21 + count) * count / 2);
    return 0;
}

void Insert(int p, int q, int d)
{
    Node *pt = (Node*)malloc(sizeof(Node)), *temp;//没有free内存
    pt->len = d;
    pt->q = q;
    pt->next = NULL;
    if (a[p].firstNode == NULL)
    {
        a[p].firstNode = pt;    
    }
    else
    {
        temp = a[p].firstNode;
        while (temp->next != NULL)
        {
            temp = temp->next;
        }
        temp->next = pt;
    }
}

void f(int i)
{
    b[i] = 1;
    Node *p = a[i].firstNode;
    while (p != NULL)
    {
        if (b[p->q] == 0)
        {
            b[p->q] = 1;
            max += p->len;
            if (count < max)
            {
                cc = p->q;
                count = max;
            }
            f(p->q);
            max -= p->len;
            b[p->q] = 0;
        }
        p = p->next;
    }
    b[i] = 0;
}

刚开始是用邻接矩阵来存放，没有注意到大数据存在，总有50%数据不能通过，后来用邻接表后，程序通过了。

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