1. 应用场景

列生成算法是不断添加求解变量的算法，可参考论文。列生成算法常常用于如下的场景：使用set-covering构建的模型，变量非常多，约束相对较少。
具体来说，场景如下：有 n n 个0-1变量 z1...zn z 1 . . . z n ，每个 zi z i 带着很多中间变量 xi,j x i , j 用来进行约束，这是个变量很多，约束也很多的模型。我们首先使用set-covering对问题模型进行转化，将所有 zi z i 的组合枚举出来，在枚举的过程中，就把约束条件都过了一遍，只有满足所有约束条件的组合才会保留下来。最后的枚举结果分别对应 y1...ym y 1 . . . y m 。
不难看出， m m 是 n n 的指数形式，使用set-covering模型之后，变量的数量大的可怕。比较好的情况是，原问题的约束条件比较紧，只有少数组合成立，这样m的数量比较小，问题就比较好解决。
Dantzig-Wolfe分解对应的问题有特殊的结构，很多讲解列生成算法的文献指的都是DW分解。这部分内容放在第3节。

2. Set-covering的列生成算法

列生成的思路和行生成基本相同，基本原理是：通过子问题不断给主问题添加变量进行求解。由于列生成算法求解的是松弛线性规划问题，因此对整数规划模型需要结合branch and bound算法进行。
列生成算法对应的模型是：
min |y| | y |
s.t. Aiy≥bi A i y ≥ b i ， i=1…n i = 1… n
将 A A 的第 j j 列记作 aj a j ， y y 是一个向量 y=[y1,...,ym] y = [ y 1 , . . . , y m ] ；并且有重要的一点：set-covering的变量 yj y j 对应的列 aj a j 生成的规则，可以通过线性约束条件 d∗aj≤e d ∗ a j ≤ e 得到。这使得我们可以用线性规划的方法来求解子问题~

2.1. 限制主问题

首先用启发式算法找出一部分 A A ，比如说选出了 k k 列。然后我们的线性规划问题就变成了：
min y1+y2+...+yk y 1 + y 2 + . . . + y k
s.t. a1∗y1+a2∗y2+...+ak∗yk≥bi a 1 ∗ y 1 + a 2 ∗ y 2 + . . . + a k ∗ y k ≥ b i ， i=1…n i = 1… n
相比原来的模型，相当于把 yk+1 y k + 1 ~ ym y m 强制限制为非基变量了，称为限制主问题（Restricted Master Problem，RMP）。上面的限制主问题求解完成后，我们想使用单纯型法进行基变量的转换，看看 yk+1 y k + 1 ~ ym y m 中，是否有可以转入基变量的列。检验数 σ=cN−π∗aj σ = c N − π ∗ a j ，并且 π=cBB−1 π = c B B − 1 可以由求解器给出。我们要找出非基变量中最小的负数 σ σ ，将其转入基变量。正如前面所述，我们这里使用线性规划来找这个新的列。

2.2. 子问题

注意 c=[1,...,1] c = [ 1 , . . . , 1 ] ，并且 aj a j 满足 d∗a≤e d ∗ a ≤ e ，因此 min cN−πaj c N − π a j 等价于
min 1−π∗a 1 − π ∗ a
s.t. d∗a≤e d ∗ a ≤ e (列生成的规则)
称为子问题（sub problem）。如果目标函数最优值＜0，就将新生成的列y_k+1转入基变量，生成新的限制主问题进行求解。如此往复，直至子问题的目标函数≥0。

3. Dantzig-Wolfe分解

关于DW分解的内容，可以参考PPT
DW分解的问题对应的约束条件具有如下的结构：

第一行的约束Ay=b叫complicating/coupling constraints，后面的By=d可以看做是列生成的规则。
DW分解的思路是，将变量用极点/极线表示。开始的时候极点/极线对应的变量很少，然后根据子问题的求解结果不断给主问题添加极点/极线。

3.1. 子问题

先给出Bx = b的一些极点和极线，比如说是 x1...xk x 1 . . . x k ，带入子问题求解：
min Σi(cN−πAj)xi Σ i ( c N − π A j ) x i
s.t. Bixi=bi B i x i = b i
然后可以求得新的极点/极线 xk+1 x k + 1

3.2. 限制主问题

min cy c y
s.t. Ay=b（π） A y = b （ π ）
y=Σux y = Σ u x （这个约束可以用来消除模型中的 y y ）
Σu=1（t） Σ u = 1 （ t ）
t t 是问题的上界，如果最优值 cy∗=t c y ∗ = t ，那么就取到了最优值，否则继续求解子问题添加变量。