1
．功能

本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程

f(x)=a0xn+a1xn-1+
…+an-1x+an=
０　（an
≠０
）
　　　　
（
1
）

的在初始值
x
0
附近的一个根。

2.
使用说明

（1）函数语句

Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1)
调用
M
文件
newton_1.m
。

（
2
）参数说明

A     n+1
元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。

N
　　整变量，输入参数，方程阶数。

X0    
实变量，输入参数，初始迭代值。

NN
　整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。

EPS1
　实变量，输入参数，控制根的精度。

3
．方法简介

解非线性议程
f(x)=0
的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把
f(x)
在
x0
点
附近展开成泰勒级数

f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2 +…
取其线性部分，作为非线性方程
f(x)=0
的近似方程，则有

f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0
设
f
ˊ
(x0)
≠0则其解为

x1=x0－f(x0)/fˊ(x0)
再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，则得

x2=x1－f(x1)/fˊ(x1)
这样，得到牛顿法的一个迭代序列

xn+1=xn－f(xn)/fˊ(xn)
4
．newton_1.m程序

function y=ne
wton_1(a,n,x0,nn,eps1)

x(1)=x0；

b=1；

i=1；

while(abs(b)>eps1*x(i))

i=i+1；

x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；

b=x(i)-x(i-1)；

if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；

return；

end

end

y=x(i)；

i

程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下：

function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数

y=0.0;

for i=1:n

y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);

end

function y=n_df(a,n,x)

y=0.0；

for i=1:n

y=y+a(i)*(n+１-i)*x?(n-i)；

end

5
．程序附注

（1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。

（2）牛顿迭代法的收敛速度：如果
f(x)
在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是
f(x)
的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。

6
．例题

用牛顿法求下面方程的根

f(x)=x3+2×2+10x-20
7
．运行结果

>>a=[1,2,10,-20] ；

>>n=3；

>>x0=1；

>>nn=1000；

>>eps1=1e-8；

>>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)

y=

1.368808107821373e+000

i=

6