【算法】Fibonacci解法总结

2019年11月4日 215次阅读

我这里说的Fibonacci数列不仅仅是f(n-1) + f(n-2)的情况，也可以是f(n-1) + f(n-2) + … + f(n-k)的情况。但是这里我们用f(n-1) + f(n-2)来进行讨论，简化理解，举一反三。

解法一，递归

实现非常简单。

int fibonacci(int i){
    if(i==0){
      return 0;
    }else if(i==1){
      return 1;
    }else {
      return fibonacci(i-1)+fibonacci(i-2);
    }
  }
}

解法二，动态规划

核心代码如下：

    long array[]=new long [n+1];
    array[0]=0;
    array[1]=1;
    for(int i=2;i<n+1;i++){
      array[i]=array[i-1]+array[i-2];
    }

这种解法与递归解法相比，具有非常大的性能提升。

解法三，动归优化

将空间优化到O(1)：

int fib(int n) {  
    int last, nextToLast, answer = 0;  
    if (n <= 1) {  
        return 1;  
    }  
    last = nextToLast = 1;  
    for (int i = 0; i < n; i++) {  
        //f(n)=f(n-1)+f(n-2)  
        answer = last + nextToLast;  
        //f(n-2)=f(n-1)  
        nextToLast = last;  
        //f(n-1)=f(n)  
        last = answer;  
    }  
    return answer;  
}

解法四，特殊解法

这种解法可以将时间复杂度优化到O(logn)，牛客网的左老师书上讲的非常清楚，这里直接借助过来以供参考：

/* 下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法: 对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定义: F( n ) = F( n-1 ) + F( n-2 ) F( 1 ) = 1 F( 2 ) = 1 矩阵形式： [ F( n+1 ) , F( n ) ] = [ F( n ) , F( n-1 ) ] * Q 其中 [ F( n+1 ) , F( n ) ]为行向量，Q = { [ 1, 1 ]; [ 1, 0 ] }为矩阵 则 [ F( n+1 ) , F( n ) ]=[ 1 , 0 ] * Qn , */

struct Matrix    
{          
       long long m_00, m_01, m_10, m_11;   
　　 Matrix ( long long m00 = 0,  long long m01 = 0,  long long m10 = 0,   long long m11 = 0 )    
       :m_00( m00 ), m_01( m01 ), m_10( m10 ), m_11( m11 )     
       {    
       }    
};


Matrix MatrixMultiply (  const Matrix & m1, const Matrix & m2    ）    
{  
　　long long m00 = m1.m_00 * m2.m_00 + m1.m_01 * m2.m_10;
　　long long m01 = m1.m_00 * m2.m_01 + m1.m_01 * m2.m_11; 
　　long long m10 = m1.m_10 * m2.m_00 + m1.m_11 * m2.m_10    
　　long long m11 = m1.m_10 * m2.m_01 + m1.m_11 * m2.m_11; 
      return Matrix ( m00,  m01,  m10, m11 );    
}

Matrix MatrixPower( unsigned int n )    
{    
       assert(n > 0);    
       Matrix m;    
       if( n == 1)    
       {    
             m = Matrix(1, 1, 1, 0);    
       }    
      else if(n % 2 == 0)    
       {    
             m = MatrixPower( n / 2 );    
             m = MatrixMultiply( matrix, matrix );    
       }    
      else if( n % 2 == 1 )    
       {    
             m = MatrixPower( (n - 1) / 2 );    
             m = MatrixMultiply( m, m );    
             m = MatrixMultiply( m, Matrix( 1, 1, 1, 0 ) );    
       }     
      return m;    
}  
long long Fibonacci( unsigned int n )
{
      int result[2] = { 0, 1 };
      if( n < 2 )
            return result[ n ];

      Matrix Q = MatrixPower( n - 1 );　　//注意：按定义式应该用[ 1, 0 ]*Q, 或者等价于{ [ 1 , 0 ]; [ 0, 0 ] }*Q, 但是因为显然结果相同，所以略去这一步。
      return Q.m_00;
}

总结

我觉得Fibonacci数列对于理解动态规划也是非常重要，动态规划的本质就是在递归中优化而来的。
Fibonacci问题还可以用来解上台阶问题，硬币面值组合问题。

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