前言：
知识真的是学习了，总结了，练习了，运用了，再次总结归纳了，但是还是会一点点遗忘。动态规划（DP）又是算法里面非常非常重要的部分，所以一定要再次复习一遍。
写这篇博客的时候不由想起上学期算法课上的一个小插曲。老师问有没有喜欢音乐的，一堆人举手。然后老师随便找了个黑人同学上去，让他用手在桌子上拍一首大家都知道的歌的节奏，让全班同学都来猜歌名。（全班70人左右）。拍了半天，有几个同学举手回答是什么歌都猜错了，最后有一个同学猜出来是Happy Birthday! 又换了几个人上去拍节奏，都是只有1个人猜出来。
老师最后总结，我们拍节奏的时候，觉得这首歌是每个人都知道的，别人应该能一下子听出来。但是事实情况是，只有一个同学猜对了。这就像我们传递信息时候，总以为别人肯定能理解我们的意思，但往往事实是相反的。老师教学生的时候觉得学生一定能听得懂自己在说什么，其实学生可能完全没听懂。学生在卷子上写的答案也是，觉得老师一定看得懂自己写的是什么，然后写得乱七八糟毫无格式，其实根本没有人看得懂这个答案。（恰逢刚考完期中考，老师特地拿这个例子来说他看不懂学生在写什么，要我们答案有格式，有段落）。就像我写博客也是，觉得别人一定能看得懂我写的，别人都有一定基础，然后不管没基础的人看不看得懂。可是我又不想很累的写得特别清楚特别细节，毕竟我不是教书，或者写书。
Dynamic Programming:
递归是自顶向下，需要不断开辟现场，结束现场，恢复现场，所以特别消耗性能，时间上还特别浪费。而DP是递归的反过来，通过自底向上，用空间换时间，大大减少了时间复杂度，性能又高。按自己理解瞎鸡儿说的，不是书上写的。
DP四步曲：
Notation大法是做DP的关键，从此麻麻不用再担心我不会思考DP算法了，接下来就是记录教材上DP的经典例子。
MATRIX CHAIN MULTIPLICATION：
矩阵链相乘：查找矩阵链相乘最小的计算次数。首先需要观察到以下几点：
- A1（r1xc1）, A2(r2xc2), 如果矩阵A1XA2，需满足c1=c2
- 矩阵（axb）和矩阵(bxc)相乘，结果得矩阵（axc）,cost time: axbxc
- [(A1A2)A3] = [A1(A2A3)] 但是cost time不同
1.Notation: 用 M(i，j) 表示矩阵Ai到Aj相乘的cost time。定义， M(i,i) 为0 for all i， 因为没有矩阵相乘cost time为0.
定义M(1,n)为所有n个矩阵的cost time。
2.Principle of Optimality: 矩阵相乘，可以用二叉树表示，如图。
假设树T表示矩阵Ai，Ai+1到Aj相乘， 它的子树left表示：B=Ai..Ak相乘，它的子树right表示Ak+1…Aj相乘，（i<=k<j）,那么T的cost time就等于：cost of T = cost(L)+cost(R)+cost(BC)
反证法证明tree L是最优的：
假设存在L’比L更优， that is cost(L’) < cost(L)，则 cost(T’) = COST(L’)+COST(R)+COST(BC) < COST(T)，则T不是最优的。
因此，如果T是最优的，那么L就是最优的，R也是最优的。否则T就不是最优的。（反证法太TM无脑了，每每被无语到。）
3.Recurrence Relation: M(i,j) = M(i,k)+M(k+1,j)+RiCkCj. 因此，最小化的M(i,j)通过找到一个k使得M(i,k)+M(k+1,j)+RiCkCj 最小，其中， i<=k<=j-1.
4.Algorithm
因为有中间的k，所以矩阵相乘从间隔2个（ABC）开始，找出最小的cost time，再到间隔3个（ABCD）开始，一直到n-1
ALL PAIRS SHORTEST PATH (APSP)
给定有向图, 求所有节点对直接的最短路径。
- 节点：1~n
- W(i,j)表示i->j的距离。有向图，所以W(i,j)不一定等于W(j,i)
D(i,j,k) i到j的最短路径，经过的点可以是（1~k）里面的点。
leetcode 787. Cheapest Flights Within K Stops 题，不止求2点之间最短距离，而且限制了最多使用K个点。
MAXIMUM VALUE CONTIGUOUS SUBSEQUENCE (MVCS)
最大的连续子序列：给定一个实数序列X1,X2,…Xn(不需要是正数)，寻找一个（连续的）子序列Xi，Xi+1,…Xj,使得其数值之和在所有的连续子序列数值之和中为最大。
O（n^3），暴力破解查找所有子序列的和。
O(n^2)的解法：优化暴力破解，把第3次循环拆出来做一次比较便成了O(n^2)
O(n)的解法：
notation: MVCS(i)表示最大的连续子序列end at position i，可以包括或不包括i
LONGEST INCREASING SUBSEQUENCE （LIS）
最长递增子序列，（非连续，连续太简单了）
example: 【1,7,2,8,4,1,6,11,3,15】 -> 找到递增子序列如【1,2,3,15】中最长的。
Observation: Size最多不超过n。
notation: X（i） 为 end at position i 的最长递增个数。
O(n^2)的解法：
（未完待续，NP经典教材题太多了，做过然后忘了的更多了，慢慢整理）
