这个算法用来列举圆内整数点，通过推广可以用来列举圆环内的整数点。

不过现在仅是某些特殊情况，没有推广到一般。限制条件：圆心座标为整数（可以转换为圆心在原点），半径为正整数。

语言为c++，

点的数据结构为：

stuct Vector2
{
    int x;
    int y;
};

容器为 std::vector<Vector2> points，算法的目标就是把圆内的所有整数点插入points里。

圆是关于座标轴对称以及 y=x 和 y=-x 对称的图形所以我们仅需考虑第一象限右下部分（圆的八分之一部分）即可。

设半径为r

第一步，加入原点。因为圆心在原点上。

第二步，加入座标轴上的点。(1, 0)(2,0)…(r, 0)。

第三步，加入y = x, y = -x 上的点 (1, 1)(2, 2)…(⌊r/1.414⌋, ⌊r/1.414⌋)  注意最后一个是向下取整。

第四步，加入其他的点：

最后的这一部分大概是个扇形：

     射线 (2, 1)->(3, 1)  和射线 (2, 1)->(3, 2) 与圆相交的区域。

通过观察发现两个事实：

1.这个区域最低点的y座标为1，最高点的y座标为 射线 (2, 1)->(3, 2) 与圆相交的点的 y座标向下取整。

2.因为圆的半径为整数，所以点(r, 0)在圆上。 (r, 1)在圆外。并且有相当多的点(r – 1, j) 是圆内最右边的整数点。

基于这些事实，我们可以把这个区域分为上下两部分：下半部左边界各点座标为(i + 1, i)，右边界格点的x座标为r-1。上半部为剩下的点。

将x = r – 1带入圆的方程中求出来的y座标向下取整，即为下半部分的上边界。

也就是说下半部分是个直角梯形：

图中点A为下半部最高点，点B为上半部最高点

上半部分的左边界与下半部分一样，右边界需要求解：将y座标带入圆方程，求出x座标并向下取整，即为右边界。

这样知道了左右范围上下范围，就可用循环将各个点加入到数组当中。当然要记得这只是八分之一，还需要将座标变换：x、y座标对调，加入负号等。

下面是完整代码：

#pragma once

#include <cassert>
#include <vector>
#include "vector2.h"

class LatticePoint
{
private:
	static void pushAxisPoints(int x, std::vector<Vector2<int>> &points)
	{
		points.push_back({ x, 0 });
		points.push_back({ -x, 0 });
		points.push_back({ 0, x });
		points.push_back({ 0, -x });
	}

	static void pushDiagonalPoints(int i, std::vector<Vector2<int>> &points)
	{
		points.push_back({ i, i });
		points.push_back({ i, -i });
		points.push_back({ -i, i });
		points.push_back({ -i, -i });
	}

	static void pushQuadrantsPoints(int i, int j, std::vector<Vector2<int>> &points)
	{
		points.push_back({ i, j });
		points.push_back({ i, -j });
		points.push_back({ -i, j });
		points.push_back({ -i, -j });

		points.push_back({ j, i });
		points.push_back({ j, -i });
		points.push_back({ -j, i });
		points.push_back({ -j, -i });
	}

public:
	//get lattice points in circle:(0, 0) radius
	static void getFromCircle(int radius, std::vector<Vector2<int>> &points)
	{
		assert(radius >= 0);

		points.push_back({ 0, 0 });
		for (int i = 1; i <= radius; i++)
		{
			pushAxisPoints(i, points);
		}
		int x1 = floor(radius / sqrt(2)), y1 = x1;
		for (int i = 1; i <= x1; i++)
		{
			pushDiagonalPoints(i, points);
		}
		if (radius <= 2)return;
		x1++;
		if (x1 * x1 + y1 * y1 > radius * radius)
		{
			y1--;
		}
		int x2 = radius - 1, y2 = floor(sqrt(radius * radius - x2 * x2));
		for (int j = 1; j <= y2 - 1; j++)
		{
			for (int i = j + 1; i <= x2; i++)
			{
				pushQuadrantsPoints(i, j, points);
			}
		}
		for (int j = y2; j <= y1; j++)
		{
			int xe = floor(sqrt(radius * radius - j * j));
			for (int i = j + 1; i <= xe; i++)
			{
				pushQuadrantsPoints(i, j, points);
			}
		}
	}

	//get lattice points in circle:(0, 0) (smallradius, bigradius]
	static void getFromRing(int bigradius, int smallradius, std::vector<Vector2<int>> &points)
	{
		assert(bigradius == smallradius + 1 && smallradius >= 0);

		pushAxisPoints(bigradius, points);
		int x1b = floor(bigradius / sqrt(2));
		int x1s = floor(smallradius / sqrt(2));
		int x1 = x1b, y1 = x1;
		if (x1b > x1s)
			pushDiagonalPoints(x1, points);
		if (bigradius <= 2)return;
		x1++;
		if (x1 * x1 + y1 * y1 > bigradius * bigradius)
		{
			y1--;
		}
		int x2b = bigradius - 1, y2b = floor(sqrt(bigradius * bigradius - x2b * x2b));
		int x2s = smallradius - 1, y2s = floor(sqrt(smallradius * smallradius - x2s * x2s));
		for (int j = 1; j <= y2s; j++)
		{
			pushQuadrantsPoints(x2b, j, points);
		}
		for (int j = y2b > y2s ? y2b : y2b + 1; j <= y1; j++)
		{
			int xs = floor(sqrt(smallradius * smallradius - j * j));
			xs = xs < j ? j : xs;
			int xe = floor(sqrt(bigradius * bigradius - j * j));
			for (int i = xs + 1; i <= xe; i++)
			{
				pushQuadrantsPoints(i, j, points);
			}
		}
	}

	static int getNumbleofCircle(double radius)
	{
		assert(radius >= 0);

		unsigned int r = (int)radius;
		unsigned int sigma = 0;

		for (unsigned int i = 1; i <= r; i++)
		{
			sigma += (int)sqrt(radius * radius - i * i);
		}

		return 1 + 4 * r + 4 * sigma;
	}

	static int getNumberofRing(double bigradius, double smallradius)
	{
		assert(bigradius > smallradius && smallradius >= 0);

		return getNumbleofCircle(bigradius) - getNumbleofCircle(smallradius);
	}
};

使用方法：

std::vector<Vector2> list;
LatticePoint::getFromCircle(distance, list);

另外还有仅求圆内整数点数量的函数：int LatticPoint::getNumberofCircle(radius);

根据这个方法我还推导出了求圆环内的整数点的方法，函数为 LatticPoint::getFromRing()。不过注意并不完全是通常意义的圆环：这里求出的是到原点的距离为(r, r+1]的所有整数点，注意这里是左开右闭的区间。你可以根据自己的需要来改动。

这里同样有求圆环内整数点数量的函数：int LatticPoint::getNumberofRing(bigradius, smallradius); 这个同样是左开右闭区间内的点，但不一样的地方是大圆半径只需要大于小圆半径就好了。

最后注意，两个求整数点数量的函数的参数可以是小数。而我提出的两个函数，参数需要为整数。