查找最长回文

2019年11月4日 168次阅读

首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。

下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = “$#1#2#2#1#2#3#2#1#”;

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #

P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1

(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id – i], mx – i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多： //记j = 2 * id – i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点。

if
 (mx – i > P[j])
 

    P[i] = P[j];

else
 /* P[j] >= mx – i */

    P[i] = mx – i; // P[i] >= mx – i，取最小值，之后再匹配更新。

当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。

当 mx – i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

《查找最长回文》

当 P[j] > mx – i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx – i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

《查找最长回文》

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

import java.util.Arrays;

public class Palindrome
{

    static int min(int a, int b)
    {
        return a < b ? a : b;
    }

    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args)
    {
        char s[] = "S#1#2#2#1#2#3#2#1#".toCharArray();
        int p[] = new int[s.length];
        int mx = 0, id = 0;
        Arrays.fill(p, 0);

        for (int i = 1; i<s.length; i++)
        {
            p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
            
            while (i + p[i] < s.length && s[i + p[i]] == s[i - p[i]])
                p[i]++;
            
            if (i + p[i] > mx)
            {
                mx = i + p[i];
                id = i;
            }
        }
        
        for (int i=0; i<s.length; i++)
        {
            System.out.print(s[i] + " ");
        }
        
        System.out.println();
        for (int i=0; i<s.length; i++)
        {
            System.out.print(p[i] + " ");
        }
    }

}

参考资料：

Manacher’s ALGORITHM: O(n)时间求字符串的最长回文子串


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