Gym101564C Comparing answers 随机化+矩阵乘法

2024年4月29日 191次阅读

这是一道玄学题。。据说应该随机化，但是用优化过的矩阵相乘算法，就可以过。。

方法一：矩阵相乘算法优化

附上论文网址：https://wenku.baidu.com/view/abe932c6bb4cf7ec4afed0d8.html

如果用经典算法，很容易就TLE了。。但是，把矩阵转置一下，再相乘，就过了，，过了？？？

还是O(n^3)算法，这这这…太玄学了吧。。。

附上AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
typedef pair<ll,ll>pp;
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
const ll INF=0x3f3f3f3f;
const ll MOD=1e9+7ll;

const int MAX=1005;
int n;
int a[MAX][MAX];
int b[MAX][MAX];
int c[MAX][MAX];
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        if(n==0)
            break;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                b[i][j]=a[j][i];//转置
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                {
                    c[i][j]+=a[i][k]*b[j][k];//矩阵相乘，注意ijk顺序变了
                }
        bool sign=true;
        int x;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                scanf("%d",&x);
                if(sign&&x!=c[i][j])
                    sign=false;
            }
        if(sign)
            printf("YES\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
	return 0;
}

方法二：随机化

这才是这道题的正确打开方式emmmmm…

矩阵乘法A*B的复杂度为O(n^3)，降维把矩阵相乘的复杂度将为O(n^2)。

原理：A*B=C  => (α*A)*B=α*C 

等式两边同时左乘一个1×n的向量α，把矩阵信息进行“压缩”，做两次O(n^2)的矩阵乘法。

向量α的选取很重要，不能是简单的(1,1)这种，很容易出问题。最好的是利用哈希，其次可以随机生成。

附上AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<time.h>
using namespace std;
#define ll long long
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
const ll INF=0x3f3f3f3f;
const ll MOD=1e9+7ll;

const int MAX=1005;
int n;
int a[MAX][MAX];
int b[MAX][MAX];
int ma[MAX];
int ansa[MAX];
int ansb[MAX];
int v[MAX];

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        if(n==0)
            break;
        srand((int)time(NULL));
        for(int i=0;i<n;i++)
            v[i]=rand()%n;//随机生成降维向量
        memset(ma,0,sizeof(ma));
        memset(ansa,0,sizeof(ansa));
        memset(ansb,0,sizeof(ansb));
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        for(int j=0;j<n;j++)
            for(int k=0;k<n;k++)
                ma[j]+=v[k]*a[k][j];
        for(int j=0;j<n;j++)
            for(int k=0;k<n;k++)
                ansa[j]+=ma[k]*a[k][j];
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&b[i][j]);
        for(int j=0;j<n;j++)
            for(int k=0;k<n;k++)
                ansb[j]+=v[k]*b[k][j];
        bool sign=true;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(ansa[i]!=ansb[i])
            {
                sign=false;
                break;
            }
        }
        if(sign)
            printf("YES\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
	return 0;
}

 

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