浅谈差分约束系统

2019年11月3日 195次阅读

差分约束系统

简介：

  • 背景是给你若干个不等式，形如 xi−xj≤b x i − x j ≤ b ，需要你判断x的解的存在性或是最优解。
  • 而差分约束系统即为这个问题转化为一个图论问题，进而跑最短路来判环或求最值距离（最优解）。
  • 这里转化的原理是三角不等式，即 d(v)−d(u)≤cost(u,v) d ( v ) − d ( u ) ≤ c o s t ( u , v ) ，可以建为一条花费为 cost(u,v) c o s t ( u , v ) 的边 (u,v) ( u , v ) 。

常规操作：

  • 根据题意找出一些不等式来建图，（特别注意：题目中的隐藏条件，这个非常关键），以及可能还需要由已知结论推出二级结论的不等式来更优秀的建边。
  • 判环：一些问题建图后不存在最优解，而存在无限减小/增大的负环/正环，需要利用 SPFA S P F A 来判进队列次数来判断，注意，在判负环时，不能用 Dijkstra D i j k s t r a 。
  • 最值距离（最优解）：对于求 ximax x i m a x ，便是求最短路；对于求 ximin x i m i n ，便是求最长路，或者可以将边权变负，也可以求最短路。
  • 建图：当求 ximin x i m i n 时，即求最长路，那么将不等式转化为 d(v)≥d(u)+k d ( v ) ≥ d ( u ) + k ，即建一条花费为 k k 的边 (u,v) ( u , v ) ；同理，求 ximax x i m a x 时，即求最短路，将不等式转化为 d(v)≤d(u)+k d ( v ) ≤ d ( u ) + k ，即建一条花费为 k k 的边 (u,v) ( u , v ) 。注意，有时题目只给出 d(v)<d(u)+k d ( v ) < d ( u ) + k 或 d(v)>d(u)+k d ( v ) > d ( u ) + k ，这时就需要放缩一下，取到等号，即 d(v)−d(u)≤k−1 d ( v ) − d ( u ) ≤ k − 1 或 d(v)−d(u)≥k+1 d ( v ) − d ( u ) ≥ k + 1 。
  • 另外，建图时还要专门设一个源点 S S ，S连向图中所有的点，且边权为 0 0 ，这样保证了图的连通性。

code（模板）：

判环：

queue<int>Q;
int dis[N];
char vis[N];
int cnt[N];

void SPFA(){
    while(!Q.empty())Q.pop();
    memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));//这里是判负环，相反，若为正环，dis即为-INF
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));

    Q.push(S);//源点
    dis[S]=0; 
    vis[S]=1;
    cnt[S]=1;

    while(!Q.empty()){
        int x=Q.front();Q.pop();
        vis[x]=0;
        for(int i=0;i<(int)E[x].size();++i){
            int y=E[x][i].to;
            if(dis[y]>dis[x]+E[x][i].cost){//这里是判负环，相反，若取max，即判正环 
                dis[y]=dis[x]+E[x][i].cost;
                if(!vis[y]){
                    Q.push(y);
                    vis[y]=1;
                    if(++cnt[y]>K)return 0;//这里K为图中点数，当进队次数大于K时，说明是负环，即无解 
                }
            } 
        }
    }
    return 1;
}

最优解：

一般就是在判环（判解的存在性）的同时，已经求出最优解，若有解，即输出，否则，一般是impossible(据题意)。这里就不再赘述。

总结：

  • 个人感觉差分约束系统是比较冷门的知识点，而且应用范围比较窄，
  • 必须是不等式吧，这是判断是否用该算法的关键。
  • 另外，它其实也是最短路的一种，在图论问题中，一些问题有可能会切到更多的分。
点赞