数论系列之一元线性同余方程（组）

2024年4月4日 355次阅读

数论，在ACM道路上走的越来越远，提起数论，都是从整除开始，而一元线性同余方程（组）的解，也要从整除起源。

提起整除问题，最负盛名的是欧几里得算法和扩展欧几里得算法，在这里我就不再赘述，详情请见我的博客：

http://blog.csdn.net/qq_27599517/article/details/50888092

而一元线性同余方程（组）的问题的解法源于扩展欧几里得算法。、

对于一元线性同余方程ax≡b(mod c)来说，这个方程等价于ax=by+c，由于y是未知数，所以可以领y=-有，即有ax+by=c。形如上述方程，很显然是扩展欧几里得算法的式子，而满足扩展欧几里得算法的条件是c%gcd(a,b)==0，如果满足这个条件，就可以求解出来x的值。

具体解法如下：

令 g=gcd(a,b);

     a=a0×g;

     b=b0×g;

所以式子可以改写成为 a0x+b0y=c/g;此时gcd(a,b)=1，运用扩展欧几里得算法可以解出一个x，但x不唯一，x是一个模b的系，所以x的取为

x,x+b0,x+2b0，……x+(g-1)b0。

对于一元线性方程组而言，这个问题就复杂了一些。一元线性方程组是形如

m≡a0(mod b)
m≡a1(mod b)
m≡a2(mod b)
m≡a3(mod b)
⋮

的式子求x的解。不难发现，我们拿出两个式子来 ：
m≡a0(mod b0)
m≡a1(mod b1)

不难看出此时式子可以改写为：

m=a0x+b0

m=a1y+b1

所以可以得到一个式子就是 a0x+a1y=b1-b0，这样就成为了扩展欧几里得算法的式子，再用这个x求出m。

这时我们引入第三个式子 m≡a2(mod b2)，此时m=a2y+b2；由于引入了新的式子，所以此时m的值也法生变化，姑且将上一个解出的m称之为m0。

因为x的解是一个系，所以有a0(x+a1/gcd(a0,a1)*k)+b0;所以有a0x+(0a1/gcd(a0,a1))k+b0=m。m0=a0x+b0，所以得出一个新的递推式即(a1a2/gcd(a1,a2))k+a2y=b2-m0;
由此可以一步一步求解出x的值

附代码：

long long a1,b1,a2,b2;
        int flag=1;//判断是否有解
        
        //a1,b1的值在循环外赋值
        for(int i=1;i<n;i++){
            if(flag==0)continue;//及时退出
            //a2,b在循环内赋值
            long long a,b,c;
            a=a1,b=a2;
            c=b2-b1;
            long long g=gcd(a,b);
            a/=g,b/=g;
            _gcd(a,b,x,y);
            if(c%g!=0){
                flag=0;
                continue;
            }
            c/=g;
            x=((x*c)%b+b)%b;//保证x>0;
            x=x*a1+b1;
            b1=x;
            a1=b*a1;
        }
        //最后b1是最终解

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