数论系列之欧几里得

2024年1月22日 231次阅读

欧几里得这部分分为欧几里得算法和扩展欧几里得算法。

欧几里得算法即我们经常说的辗转相除法，采用的基本原理是设a-qb+r，其中所有数都是整数，就有gcd(a,b)=gcd(b,r)，只用a，b表示的话就是gcd(a,b0=gcd(b,a%b);

代码如下：

<span style="font-size:14px;">long long gcd(long long a,long long b){
    if(b==0)return a;
    return gcd(b,a%b);
}</span>


而扩展欧几里得算法则是求 ax+by=c；

其中c%gcd(a,b)==0;不满足就无解

一般的，我们都让这些常量互质，即让a,b,c都除以gcd(a,b);

这时，我们可以得出两个方程：

ax+by=1;

bx1+a%by1=1;

为什么等于1？因为等于1好求，并且最后得出x乘c就好了。

采用第二个式子的原因是，如果一直迭代下去，就会得到一个值，y的系数为1；

此时令当前方程的x=1,y=1-a(当前的a)再递归回去就能解出最开始的x

方法大致是这样的

令 x=y1;

解出当前y与x1之间的关系 然后就一步一步迭代，直到y的系数为1时，再回溯回来就是解了；

当然解不是唯一的 x的解系为x + b/gcd(a,b)*k  k为整数。

附代码：

<span style="font-size:14px;">void _gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
    if(b==1){
        x=1;
        y=1-a;
        return;
    }
    else{
        long long x1,y1;
        _gcd(b,a%b,x1,y1);
        x=y1;
        y=x1-(a/b)*x;
    }
}
</span>


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