【PATds 01-1】最大子列和问题

2024年1月9日 198次阅读

01-1. 最大子列和问题(20)

时间限制 10000 ms

内存限制 65536 kB

代码长度限制 8000 B

判题程序
Standard

给定K个整数组成的序列{ N1, N2, …, NK }，“连续子列”被定义为{ Ni, Ni+1, …, Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

输入格式：

输入第1行给出正整数 K (<= 100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式：

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例：

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例：

20

提交地址：http://www.patest.cn/contests/mooc-ds/01-1

美好的寒假开始了，不做题觉得没事干，正好手上有一套浙大数据结构的练习题，就先把它刷了吧~

这个是上来第一题，中文，题意就没必要说了。

分析：

1、马上想到暴力，既然是最大连续子列和，那么用一个二重循环可以枚举子列头和尾的位置，内层再做一个求和的扫描，O(n^3)的办法马上就有了，而且写起来很简单。不过显然这个要超时…

2、其实暴力也是可以优化的，内层扫描那一遍完全可以省掉。方法是记一个数组sum，sum[i]表示从0到i号元素的和，这个可以在一开始O(n)预处理出来，然后到后面确定头i尾j之后，直接sum[j] – sum[i]就可以O(1)得出i到j的元素和，这样一来复杂度降到O(n^2)，水题的话到这就够用了。

3、但是只会暴力是不行的，不然还要算法干什么。这个题目明显有优化的空间，因为能产生最大子列和的子列必然满足一些特点，也就是说有些子列是可以直接pass的，连试都不用去试它：

(1)如果全是非负数，那直接求全部元素的和，就是最大子列和。

(2)如果全是非正数，那问题等价为求数列中最大元素的问题，因为这种情况下，选取的子列越长，和就被减得越小。

注意到上面两种情况都是O(n)的，所以我们看看能不能让下一种情况也在O(n)内解决。

(3)如果数列有正有负，这时就需要思考一下最后选取的子列有什么特征：

①子列肯定不能以负数开头和结尾。如果以负数开头和结尾我们还不如不要它，因为不要它我们还可以少减一个数，让子列和更大。

②子列和必定是正数。既然是有正有负的数列，实在不行我可以取某一个正数构成长度为1的子列，它的子列和至少是个正数，那些和是负数或0的子列明显不如它。

③如果一个子列的和是负数，则最终有最大和的子列不会以这个子列为两端，这与第①条是同理的。

4、由以上性质可以得到一种很巧妙的方法：从左到右扫描一遍数组，记一个变量tmp求数组元素和，如果tmp在某时刻小于0，就把tmp置0，然后继续。再用一个变量ans记录tmp的最大值即可。

这个方法乍看上去感觉不太对的样子，但是仔细想想它完全符合上面①②③三条性质。简单的说，如果一个子列的左侧有小于0的子列，那tmp会自动置0来保护能取到最优，如果右侧有小于0的子列，但是由于是从左往右扫描的，那时候ans早已记录到了最大值，tmp减小并不会使结果错误，如果后面又有和为正数的子列，tmp还能机智的把前面这一块和为正数的子列加上去，尝试得到和更大的子列。

容易发现上面这种方法只有O(n)的时间复杂度，代码也非常容易实现，且(1)(2)两种情况可以完美整合进(3)的实现。美中不足的是要想同时求子列的首尾位置就不如暴力法方便了，需要额外打标签判断。

暴力的代码就不写了，这种O(n)方法的代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 100010
int a[MAXN];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    int ans = a[0], tmp = 0;
    for(int i=0; i<n; i++){
        tmp += a[i];
        if(tmp > ans) ans = tmp;
        else if(tmp < 0){
            tmp = 0;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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