【证明】加减法交换两个整数，过程可能会溢出，但结果依然正确

2024年5月6日 406次阅读

请对下面的代码做出判断：

void swap_int(int *a,int *b)
{
  if(a == b)
	return;
  *a=*a+*b;
  *b=*a-*b;
  *a=*a-*b;
}

以下说法正确的是：

A.结果不正确，因为会溢出，用位与的方式就没问题

B.结果正确，即使会溢出

C.结果正确，不会溢出

D.其他选项都不对


答案是B 结果正确，即使会溢出。

因为如果是两个正整数相加，则先发生一次上溢，后面发生两次下溢，从而结果正确。

如果是两个负整数，则先发生一次下溢，后面发生两次上溢，从而结果也正确。


详细分析如下：

我们记待交换的两个数为A、B

设整形变量*a、*b的位表示为
*a = n31n30 ··· n0
*b = m31m30 ··· m0
只有当(*a > 0 && *b > 0) 或 (*a < 0 && *b < 0)时才会发生溢出。
两者类似，不失一般性，我们只证明A、B均大于0时的情况。
A与B均大于0时求和发生的溢出只可能是上溢。
所谓溢出，就是说，必须扩展额外一位才能够容纳正确的结果，我们记 ‘|’的左边为扩展位。
*a = 0|0a30 ··· a0 = a30*230 +  a29*229 + ··· + a0*20 = A
*b = 0|0b30 ··· b0 = b30*230 +  b29*229 + ··· + b0*20 = B
因为这里我们考察的是正数，所以对于扩展后的低32位，所有位均表示值，没有符号位。
也就是说，把扩展后的第33位看作是符号位。
对于32位时的上溢，用33位 表示必为
*a + *b = 0|1n30 ··· n0 = 231 + n30*230 +  n29*229 + ··· + n0*20 =  2 31  + K ① 
计算机将得到的33位结果truncate回原来的32位，即丢弃第33位(0)变为：
*a + *b =    1n30 ··· n0 = -231 + n30*230 +  n29*229 + ··· + n0*20 = -2  31   + K ②


A+B的应该值是①，而实际上溢结果为②，可见上溢结果=应该值–2 32  
即② = ① –
 232
此时*a中存储的就是②=A+B – 232
当溢出发生时，我们来看第二句赋值语句：
*b = *a – *b = ② – *b =  A+B – 232 – B  = -232 + A
因为 -232 对于32位的int来说，就是0，下溢，使得-232 + A  == A，即*b = A;
第二句赋值语句正确。



下面再来看第三句赋值语句：
*a=*a-*b = ② – *b =  A+B – 232 – A = -232 + B

又一次发生下溢，使得–232 + B  == B，即*a = B;


综上所述，因此尽管溢出了，但仍能正确交换。

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更新内容：

有人私信我说，对于两个正整数相加溢出，比较好理解，因为此时上溢的那一位并没有丢失，而是存储到了符号位。整型数字在运算时，并没有什么符号的概念，都是做的加法。符号位只在解释二进制位的时候才有用，而在操作的时候和其他位是一样的。也就是说，正整数加法并没有丢失位信息。

但是负整数呢？负数相加下溢时，进位的1丢失了。还能保证结果正确吗。

答案是：还能保证结果正确。


对负整数相加时溢出进行一下分析。

当A、B小于0 且 A+B 下溢时：

为便于分析，仍扩展为33位

*a = 0|1a30 ··· a0 =-231 + a30*230 +  a29*229 + ··· + a0*20 = A
*b = 0|1b30 ··· b0 = -231 + b30*230 +  b29*229 + ··· + b0*20 = B
现在，对于请将扩展位看作是符号位，剩余的低32位均表示值。
根据双符号位法则，若两个符号位的得值不同（01或10）则是溢出。01表明两个正数相加,结果大于机器所能表示的最大正数,称为”上溢”；10表明两个负数相加,结果小于机器所能表示的最小负数,称为”下溢”；
① 为应该值，②为下溢值

对于32位时的下溢，用33位 表示必为
*a + *b = 1|0n30 ··· n0 = -232 + n30*230 +  n29*229 + ··· + n0*20 =  -2 32  + K ① 
计算机将得到的33位结果truncate回原来的32位，即丢弃第33位(1)变为：
*a + *b =    0n30 ··· n0 = -231 + n30*230 +  n29*229 + ··· + n0*20 = K ②


A+B的应该值是①，而实际下溢结果为②，可见下溢结果=应该值 + 2 32  
即② = ① +
 232
此时*a中存储的就是②=A+B+ 232
当溢出发生时，我们来看第二句赋值语句：
*b = *a – *b = ② – *b =  A+B + 232 – B  = 232 + A
因为 232 对于32位的int来说，就是0，是一次上溢，使得 232 + A  == A，即*b = A;
第二句赋值语句正确。



下面再来看第三句赋值语句：
*a=*a-*b = ② – *b =  A+B + 232 – A = 232 + B

又一次发生上溢，使得232 + B  == B，即*a = B;


综上所述，因此尽管溢出了，但仍能正确交换。

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