BK树

2019年11月3日 201次阅读

BK树或者称为Burkhard-Keller树，是一种基于树的数据结构，被设计于快速查找近似字符串匹配，比方说拼写检查器，或模糊查找，当搜索”aeek”时能返回”seek”和”peek”。为何BK-Trees这么酷，因为除了穷举搜索，没有其他显而易见的解决方法，并且它能以简单和优雅的方法大幅度提升搜索速度。

除了字符串匹配、查找回文串、查找重复子串等经典问题以外，日常生活中我们还会遇到其它一些怪异的字符串问题。比如，有时我们需要知道给定的两个字符串“有多像”，换句话说两个字符串的相似度是多少。1965年，俄国科学家Vladimir Levenshtein给字符串相似度做出了一个明确的定义叫做Levenshtein距离，我们通常叫它“编辑距离”。字符串A到B的编辑距离是指，只用插入、删除和替换三种操作，最少需要多少步可以把A变成B。例如，从FAME到GATE需要两步（两次替换），从GAME到ACM则需要三步（删除G和E再添加C）。Levenshtein给出了编辑距离的一般求法，就是大家都非常熟悉的经典动态规划问题。
在自然语言处理中，这个概念非常重要，例如我们可以根据这个定义开发出一套半自动的校对系统：查找出一篇文章里所有不在字典里的单词，然后对于每个单词，列出字典里与它的Levenshtein距离小于某个数n的单词，让用户选择正确的那一个。n通常取到2或者3，或者更好地，取该单词长度的1/4等等。这个想法倒不错，但算法的效率成了新的难题：查字典好办，建一个Trie树即可；但怎样才能快速在字典里找出最相近的单词呢？这个问题难就难在，Levenshtein的定义可以是单词任意位置上的操作，似乎不遍历字典是不可能完成的。现在很多软件都有拼写检查的功能，提出更正建议的速度是很快的。它们到底是怎么做的呢？1973年，Burkhard和Keller提出的BK树有效地解决了这个问题。这个数据结构强就强在，它初步解决了一个看似不可能的问题，而其原理非常简单。

首先，我们观察Levenshtein距离的性质。令d(x,y)表示字符串x到y的Levenshtein距离，那么显然：

1. d(x,y) = 0 当且仅当 x=y  （Levenshtein距离为0 <==> 字符串相等）
2. d(x,y) = d(y,x)     （从x变到y的最少步数就是从y变到x的最少步数）
3. d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z)  （从x变到z所需的步数不会超过x先变成y再变成z的步数）

最后这一个性质叫做三角形不等式。就好像一个三角形一样，两边之和必然大于第三边。给某个集合内的元素定义一个二元的“距离函数”，如果这个距离函数同时满足上面说的三个性质，我们就称它为“度量空间”。我们的三维空间就是一个典型的度量空间，它的距离函数就是点对的直线距离。度量空间还有很多，比如Manhattan距离，图论中的最短路，当然还有这里提到的Levenshtein距离。就好像并查集对所有等价关系都适用一样，BK树可以用于任何一个度量空间。

    建树的过程有些类似于Trie。首先我们随便找一个单词作为根（比如GAME）。以后插入一个单词时首先计算单词与根的Levenshtein距离：如果这个距离值是该节点处头一次出现，建立一个新的儿子节点；否则沿着对应的边递归下去。例如，我们插入单词FAME，它与GAME的距离为1，于是新建一个儿子，连一条标号为1的边；下一次插入GAIN，算得它与GAME的距离为2，于是放在编号为2的边下。再下次我们插入GATE，它与GAME距离为1，于是沿着那条编号为1的边下去，递归地插入到FAME所在子树；GATE与FAME的距离为2，于是把GATE放在FAME节点下，边的编号为2。
       《BK树》
    查询操作异常方便。如果我们需要返回与错误单词距离不超过n的单词，这个错误单词与树根所对应的单词距离为d，那么接下来我们只需要递归地考虑编号在d-n到d+n范围内的边所连接的子树。由于n通常很小，因此每次与某个节点进行比较时都可以排除很多子树。
    举个例子，假如我们输入一个GAIE，程序发现它不在字典中。现在，我们想返回字典中所有与GAIE距离为1的单词。我们首先将GAIE与树根进行比较，得到的距离d=1。由于Levenshtein距离满足三角形不等式，因此现在所有离GAME距离超过2的单词全部可以排除了。比如，以AIM为根的子树到GAME的距离都是3，而GAME和GAIE之间的距离是1，那么AIM及其子树到GAIE的距离至少都是2。于是，现在程序只需要沿着标号范围在1-1到1+1里的边继续走下去。我们继续计算GAIE和FAME的距离，发现它为2，于是继续沿标号在1和3之间的边前进。遍历结束后回到GAME的第二个节点，发现GAIE和GAIN距离为1，输出GAIN并继续沿编号为1或2的边递归下去（那条编号为4的边连接的子树又被排除掉了）……
    实践表明，一次查询所遍历的节点不会超过所有节点的5%到8%，两次查询则一般不会17-25%，效率远远超过暴力枚举。适当进行缓存，减小Levenshtein距离常数n可以使算法效率更高。

【1】求算两个字符串之间的编辑距离

简述

设A和B是两个字符串，要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B

字符串操作包括，

1）删除一个字符

2）插入一个字符

3）将一个字符改为另一个字符

算法：

模拟构造一个（m + 1)行，（n+1）列的表格

每一次都是在前一次的计算结果下，得到当前的值

首先是三个特殊情况用srcStr表示源字符串，dstStr 表示目标字符串

1) 两个空字符串的编辑距离D(srcStr, dstStr) = 0

2) 如果srcStr为空，dstStr不为空，则D(srcStr, dstStr) = dstStr.length(), 即在原空字符串上添加字符，形成dstStr

3) 如果dstStr为空，srcStr不为空，则D(srcStr, dstStr) = srcStr.length(), 及在源字符串上删除其所有字符，直至为空

例子：

下面实际解决一下从srcStr = “bd” 到 dstStr = “abcd”的过程，

上面这三种情况分别是初始化的时候要做的

首先用一维数组表示两位数组

纵向 i = 0 -> m+1 ， d[i * (n + 1)] = i

横向 i = 0 -> n+1, d[i] = i

即：如下图是初始化之后的表格信息，纵向是b,d 横向是a,b,c,d

《BK树》

步骤：

for(i = 1 -> 2) // 2为“bd”的长度

for( j = 1 -> 4 ) // 4 为”abcd”的长度

为了确定d[ i ][ j ]的大小，需要比较

a) 从d[ i – 1 ][j – 1] 修改字符srcStr[i – 1], 使之变为dstStr[j – 1], 如果srcStr[i – 1] == dstStr[j – 1] 则这一步可以免去

b) 从d[ i – 1 ][ j ] 在srcStr的[ i – 1]处添加一个字符，使字符srcStr[ i – 1 ]变为dstStr[ j – 1 ]

c) 从d[ i ][ j – 1 ] 在dstStr的[ j – 1 ]处删除一个字符，使字符dstStr[ j – 1 ]变为srcStr[ i – 1]

三者之间的最小值赋给d[ i ][ j ]

例如：S=“eeba”   T="abac" 
我们发现当S只有一个字符e、T只有一个字符a的时候，我们马上就能得到S和T的编辑距离edit(0,0)=1(将e替换成a)。那么如果S中有1个
字符e、T中有两个字符ab的时候，我们是不是可以这样分解：edit(0,1)=edit(0,0)+1(将e替换成a后，在添加一个b)。如果S中有
两个字符ee，T中有两个字符ab的时候，我们是不是可以分解成：edit(1,1)=min(edit(0,1)+1, edit(1,0)+1, 
edit(0,0)+f(1,1)). 这样我们可以得到这样一些动态规划公式：

        如果i=0且j=0        edit(0, 0)=1

        如果i=0且j>0        edit(0, j )=edit(0, j-1)+1

        如果i>0且j=0        edit( i, 0 )=edit(i-1, 0)+1

        如果i>0且j>0        edit(i, j)=min(edit(i-1, j)+1, edit(i,j-1)+1, edit(i-1,j-1)+f(i , j) )

小注： edit(i,j)表示S中[0.... i]的子串si到T中[0....j]的子串tj的编辑距离。
f(i,j)表示S中第i个字符s(i)转换到T中第j个字符s(j)所需要的操作次数，
如果s(i)==s(j)，则不需要任何操作f(i, j)=0； 否则，需要替换操作，f(i, j)=1

[cpp]
view plain
copy

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<math.h>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[40][40];
char s1[100], s2[100], st[10010][30];
const int inf = 0x7f7f7f7f;
//数据结构定义
struct node
{
char word[30]; //当前结点值
node *next[30];
}root;
node p[100000];
int num, flag, vnum, fuck;
map<string,int>mp;
int f[100000];
void init( )
{
for( int i = 0; i < 40; i++)
for( int j = 0; j < 40; j++)
dp[i][j] = inf;
}
int diff( char *s1, char *s2)
{
init();
int x = strlen(s1+1);
int y = strlen(s2+1);
for( int i = 0; i <= x; i++)
dp[i][0] = i;
for( int j = 0; j <= y; j++)
dp[0][j] = j;
for( int i = 1; i <= x; i++)
{
for( int j = 1; j <= y; j++)
{
dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1), dp[i-1][j-1]+ !(s1[i]==s2[j]) );
}
}
return dp[x][y];
}
//建树
void insert(node *q, char *str)
{
node *l = q;
while( l )
{
int dis = diff( l->word, str);
if( ! l->next[dis] )
{
l->next[dis] = &p[num++];
strcpy(l->next[dis]->word + 1, str + 1);
break;
}
l = l->next[dis];
}
}
//查找与单词相差不大于d的单词
void sfind(node *q, char *str, int d)
{
if( flag )
return ;
node *l = q;
if( l == NULL )
return;
int dis = diff(str, l->word);
if( dis <= d )
{
fuck++;
}
for( int x = dis-d; x <= dis+d; x++)
{
if( x >= 0 && x <= 20 && l->next[x] )
sfind(l->next[x], str, d);
}
}
int main( )
{
int N, M, d, cnt, T, abc = 1;
char str[1000];
scanf(“%d”,&T);
while( T– )
{
scanf(“%d%d”,&N,&M);
memset(p,0,sizeof(p));
for( int i = 0; i < 30; i++)
root.next[i] = NULL;
num = 0;
int cnum = 1;
strcpy(st[0] + 1, root.word+1);
for( int i = 1; i <= N; i++)
{
scanf(“%s”,st[i]+1);
insert(&root, st[i]);
}
d = 1;
printf(“Case #%d:\n”, abc++);
for( int i = 1; i <= M; i++)
{
vnum = 0;
flag = 0;
fuck = 0;
scanf(“%s%d”,str+1, &d);
sfind(&root, str, d);
printf(“%d\n”, fuck);
}
}
return 0;
}

自己写的版本，比较容易理解

[cpp]
view plain
copy

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <fstream>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <sstream>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXEDIT 15
class node {
public:
string word;
node *next[MAXEDIT];
node() {
memset(next, 0, sizeof(next));
}
};
string split(const string& str) {
size_t pos = str.find(” ||| “);
return str.substr(0, pos);
}
bool isalpha(const string& str) {
for (int i = 0; i < str.size(); ++i) {
if (!(str[i]>=‘a’ && str[i] <=‘z’ || str[i]>=‘A’ && str[i] <=‘Z’ )) return false;
}
return true;
}
int minTri(int a, int b, int c) {
int rst = a;
if (rst > b) rst = b;
if (rst > c) rst = c;
return rst;
}
int editDist(const string &str1, const string &str2) {
vector<vector<int> > mat(str1.size() + 1, vector<int>(str2.size() +1, 0));
for (int i = 1; i < str1.size(); ++i) mat[i][0] = i;
for (int i = 1; i < str2.size(); ++i) mat[0][i] = i;
for (int i = 1; i <= str1.size(); ++i) {
for (int j = 1; j <= str2.size(); ++j) {
int cost = 1;
if (str1[i-1] == str2[j-1]) cost = 0;
mat[i][j] = minTri(mat[i-1][j-1]+cost, mat[i-1][j] + 1, mat[i][j-1] + 1);
}
}
return mat[str1.size()][str2.size()];
}
void insert(node* head, const string& str) {
node *tmp = head;
while (tmp) {
int dis = editDist(tmp->word, str);
if (dis == 0 || dis >= MAXEDIT) return;
if (tmp->next[dis]) tmp = tmp->next[dis];
else {
tmp->next[dis] = new node();
tmp->next[dis]->word = str;
break;
}
}
}
void buildKDTree(node *head, const vector<string>& ls) {
for (int i = 0; i < ls.size(); ++i) {
insert(head, ls[i]);
}
}
void freeKDTree(node* head) {
for (int i = 0; i < MAXEDIT; ++i) {
if (head->next[i]) {
freeKDTree(head->next[i]);
delete head->next[i];
head->next[i] = NULL;
}
}
}
void findN(node *head, const string & str,vector<pair<string,int> >& rst, int n) {
int d = editDist(head->word, str);
if (d <= n && d != 0) {
rst.push_back(make_pair(head->word,d));
}
int minR = max(1, d – n);
int maxR = min(MAXEDIT-1, d + n);
for (int i = minR; i <= maxR; ++i) {
if (head->next[i]) {
findN(head->next[i], str, rst, n);
}
}
}
bool Cmp(const pair<string, int>& p1, const pair<string, int> &p2) {
return p1.second < p2.second;
}
int main(int argc, char *argv[]) {
if (argc != 3) {
cout << “input output”<<endl;
return -1;
}
ifstream fin(argv[1]);
ofstream fo(argv[2]);
string line;
set<string> st;
while(getline(fin, line)) {
string word = split(line);
if (isalpha(word) && word.size() > 1)
st.insert(word);
}
vector<string> ls(st.size());
set<string>::iterator it = st.begin();
int i = 0;
for(; it != st.end(); ++it)
ls[i++] = *it;
node head;
head.word = ls[0];
buildKDTree(&head, ls);
for (i = 0; i < ls.size();++i) {
if ((i+1)%5000 ==0) cout << i+1<<endl;
vector<pair<string, int> > rst;
int dist = min((int)ls[i].size()/2, 3);
findN(&head, ls[i], rst, dist);
ostringstream ostr;
ostr<<ls[i]<<“\t”;
sort(rst.begin(), rst.end(), Cmp);
for (int j = 0; j < rst.size(); ++j) {
ostr<<rst[j].first<<” “;
}
fo<<ostr.str()<<endl;
}
freeKDTree(&head);
fin.close();
fo.close();
system(“pause”);
return 0;
}