最长公共子串问题

问题描述

  • 给出两个字符串,找到最长公共子串,并返回其长度。
  • Example :
    给出A=“ABCD”,B=“CBCE”,返回 2
  • 牛客地址
  • LintCode地址

问题分析

  • 最长公共子序列(Longest Common Subsequence)问题 不同,该题是求最长公共子串的长度,子串必须要求连续,而子序列则可以不连续。针对子串这一特点,设置的状态也有所不同。
  • 最长公共子序列是属于那种最优子结构问题,而最长公共子串类似于子数组那种套路问题:先求解以nums[i]为开头或者结尾的子数组中的最优,然后遍历所有的nums[i],在上述最优中优中选优。
    对于该题,我们可以用dp[i][j] 表示 A[i ~ n]B[j ~ m]中的最长子串的长度,状态转移条件为:如果a[i] == b[j],那么dp[i][j] = 1 + dp[i + 1][j + 1],如果a[i] != b[j],那么dp[i][j] = 0
    只要我们求出所有的dp[i][j],然后max(dp[i][j])即为所求。
    时间复杂度与空间复杂度都是O(N * M)
    当然。也可以用用dp[i][j] 表示 A[0 ~i]B[0 ~ j]中的最长子串的长度
  • 该题还可对空间进行优化,因为dp[i][j] 只依赖于右下方dp[i + 1][j + 1],所以我们可以逐条对角线进行更新,只用一个值来记录当前dp[i][j]的值即可。
    空间复杂度:O(1)

经验教训

  • 求解最长公共子串与最长公共子序列的区别如何设置状态才能保证连续

代码实现

  • 初始动态规划
    public int longestCommonSubstring(String A, String B) {
        // write your code here
        if (A == null || B == null) {
            return 0;
        }
        int n = A.length();
        int m = B.length();
        if (n == 0 || m == 0) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        int maxLen = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                if (A.charAt(i) == B.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1] + 1;
                    maxLen = Math.max(maxLen, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return maxLen;
    }
  • 优化空间
    public int longestCommonSubstring(String A, String B) {
        // write your code here
        if (A == null || B == null) {
            return 0;
        }
        int n = A.length();
        int m = B.length();
        if (n == 0 || m == 0) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        int maxLen = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                if (A.charAt(i) == B.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1] + 1;
                    maxLen = Math.max(maxLen, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return maxLen;
    }
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