最长公共子串问题

2024年1月13日 227次阅读

问题描述

  • 给出两个字符串，找到最长公共子串，并返回其长度。
  • Example :
    给出A=“ABCD”，B=“CBCE”，返回 2
  • 牛客地址
  • LintCode地址

问题分析

  • 与 最长公共子序列（Longest Common Subsequence）问题 不同，该题是求最长公共子串的长度，子串必须要求连续，而子序列则可以不连续。针对子串这一特点，设置的状态也有所不同。
  • 最长公共子序列是属于那种最优子结构问题，而最长公共子串是类似于子数组那种套路问题：先求解以nums[i]为开头或者结尾的子数组中的最优，然后遍历所有的nums[i],在上述最优中优中选优。
    对于该题，我们可以用dp[i][j] 表示 A[i ~ n]与 B[j ~ m]中的最长子串的长度，状态转移条件为：如果a[i] == b[j],那么dp[i][j] = 1 + dp[i + 1][j + 1],如果a[i] ！= b[j]，那么dp[i][j] = 0。
    只要我们求出所有的dp[i][j],然后max(dp[i][j])即为所求。
    时间复杂度与空间复杂度都是O(N * M)
    当然。也可以用用dp[i][j] 表示 A[0 ~i]与 B[0 ~ j]中的最长子串的长度
  • 该题还可对空间进行优化，因为dp[i][j] 只依赖于右下方dp[i + 1][j + 1]，所以我们可以逐条对角线进行更新，只用一个值来记录当前dp[i][j]的值即可。
    空间复杂度：O(1)

经验教训

  • 求解最长公共子串与最长公共子序列的区别，如何设置状态才能保证连续。

代码实现

  • 初始动态规划
    public int longestCommonSubstring(String A, String B) {
        // write your code here
        if (A == null || B == null) {
            return 0;
        }
        int n = A.length();
        int m = B.length();
        if (n == 0 || m == 0) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        int maxLen = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                if (A.charAt(i) == B.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1] + 1;
                    maxLen = Math.max(maxLen, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return maxLen;
    }
  • 优化空间
    public int longestCommonSubstring(String A, String B) {
        // write your code here
        if (A == null || B == null) {
            return 0;
        }
        int n = A.length();
        int m = B.length();
        if (n == 0 || m == 0) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        int maxLen = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                if (A.charAt(i) == B.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1] + 1;
                    maxLen = Math.max(maxLen, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return maxLen;
    }
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