Bellman-Ford的使用范围

1、单源

2、有负权重

3、有向

Bellman-Ford算法的描述

最短路径估计值g(v)：当前求得的源节点s到节点v最短距离

最短路径d(v)：源节点s带节点v的最短路径距离

Bellman-Ford算法通过对所有的边进行松弛操作来渐渐地降低从源节点s到每个节点v的最短路径估计值g(v)，直到g(v)=d(v)。

Bellman-Ford算法的模板

	class Edge//表示边，u为边的起点，v为边的终点，w为边的权重
	{
		int u;
		int v;
		int w;
	}
	
	int n;//节点的总个数
	int m;//边的总条数
	int s;//源节点
	Edge e[];//e[i]:第i条边
	int d[];//d[i]:s到i的最短路径长度
	boolean bellman_ford()
	{
		d[s]=0;
		boolean flag=false;
		//*//对所有的边进行n-1次松弛
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			flag=false;
			//**//对所有的边进行松弛
			for(int j=0;j<m;j++)
			{
				int u=e[j].u;
				int v=e[j].v;
				int w=e[j].w;
				if(d[v]>d[u]+w)
				{
					d[v]=d[u]+w;
					flag=true;
				}
			}
			if(!flag)//若flag为false说明本次没有对任何一条边进行松弛，那么以后的每一次都不会对任何一条边进行松弛，所以剩下的松弛操作也没必要了
			{
				break;
			}
		}
		//**//
		
		//***//判断是否有负环
		for(int i=0;i<m;i++)
		{ 
			int u=e[i].u;
			int v=e[i].v;
			int w=e[i].w;
			if(d[v]>d[u]+w)
			{
				return false;//有负环
			}
		}
		return true;//没有负环
		//***//
	}

收敛性质：对于某些节点u，v，如果s~u~v是一条最短路径，并且在对边(u,v)进行松弛前的任意时间有g[u]=d[u]，则在之后的所有时间有g[v]=d[v]。

证明Bellman-Ford的正确性

1、证明若不存在负环，则对所有边进行n-1次松弛之后，对于所有从s可以到达的节点v，有g[v]=d[v]

证明：设p=（s,v1,v2,…,vk）为从源节点到vk之间的任意一条最短路径。根据收敛性质，在进行第一次松弛后，g[v1]=d[v1]，在进行第二次松弛后，g[v2]=d[v2]，。。。，在进行第k次松弛后，g[vk]=d[vk]。由于p最多包含n-1条边，所以经过n-1次松弛后，对于所有从s可以到达的节点v，有g[v]=d[v]。

2、证明对所有边进行n-1次松弛之后，若有某条边(u,v)，使得g(v)>g(u)+w(u,v)，则存在负环

证明：我们可以断言：若没有负环，则对于任意一条边(u,v)，有g(v)<=g(u)+w(u,v)。由于该命题成立，则该命题的逆否命题也成立。

所以可以推出：若有某条边使得g(v)>g(u)+w(u,v)，则存在负环。得证

3、证明对所有边进行n-1次松弛之后，若对任意的边(u,v)，都有g(v)<=g(u)+w(u,v)，则不存在负环

证明：假设存在负环，设该环路为c=(v0,v1,v2,…,vk)，v0=vk。

由于c未负环，所以有w(v0,v1)+w(v1,v2)+…+w(vk-1,vk)<0。

由于对于所有的边都有g(v)<=g(u)+w(u,v)，

所以有g(vi)<=g(vi-1)+w(vi-1,vi)，i=1,2,…,k，

将k个等式加起来，有g(v1)+g(v2)+…+g(vk)<=g(v0)+g(v1)+…+g(vk-1)+w(v0,v1)+w(v1,v2)+…+w(vk-1,vk)，

由于v0=vk，

所以有g(v0)=g(vk)

所以有w(v0,v1)+w(v1,v2)+…+w(vk-1,vk)>=0.

这与w(v0,v1)+w(v1,v2)+…+w(vk-1,vk)<0相矛盾。所以命题正确