Bellman-Ford算法 解决单源最短路

   
最短路是图问题中常见的一种问题，最短路也分很多种类。之前在写题的时候接触到Dijkstra算法。但是后来接触到更多单源最短路问题后发现，Dijkstra算法虽然有优于Bellman-Ford算法的时间复杂度，但是舍弃对负权回路的检测。而Bellman-Ford算法可以检测到负权回路，这个时候程序就会返回值提示含有负权回路，此时不存在最短路。
   在开始谈Bellman-Ford算法的原理之前（博主也刚刚学，讲的不好还望大牛们指出），需要提一下最短路中重要的一个性质，这可能涉及到后面对算法的理解。
  若一条路径A->1->2->->……->B->a->b->……->C是A到C的最短路径,那么A->1->2->..->B一定是A到B的最短路径。若存在更优的从A到B的路径，那么就存在从A到C的最短路径。所以在Bellman-Ford算法中使用松弛操作逐步将从起点每个结点的路径优化。最终得到到达每个节点的最短路径（如果存在的话，因为如果存在负权回路，那么就不存在最短路径）。
  负权回路指的是闭合且遍历环上所有点后得到的路径长度为负值。
例如：A–>(+5)B–>(-5)C–>(-1)A。显然这里形成了一个由A,B,C构成的回路，且A->B,B->C,C->A的权值的和为负数，那么只要不断地沿该回路走下去，会得到一个大小为负无穷的结果。这时最短路径是不存在的。
  Bellman-Ford算法需要初始化。首先要将所有点的最短路径初始化为无穷大（在具体环境中不可能达到的值）。将起始结点的最短路径置为0。对n个结点需要进行n-1次松弛操作。保证每个结点能够求到其最短路径（若存在）。每次松弛操作考察当前结点i和所有边，若i的最短路径+i与和它联通的结点u之间的权的值小于u到起始点的最短路径，那么就更新u到起始点的最短路径。（Bellman-Ford算法中每次循环考察所有边）。

实现代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f
using namespace std;
struct Edge
{
    int u,v;
    int w;
}edge[10005];

int dist[20015],pos[10005];


bool relax(Edge *edge,int n,int m)
{
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        for (int j=0;j<m;j++)
        {
            int a=edge[j].u,b=edge[j].v,wei=edge[j].w;
                dist[b]=min(dist[b],dist[a]+wei);
        }
    }
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
        int a=edge[i].u,b=edge[i].v,wei=edge[i].w;
        if (wei+dist[a]<dist[b])
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    memset(dist,INF,sizeof dist);  //将所有点到起始点的最短路径初始化为无穷
    for(int i=0;i<10005;i++)
        edge[i].w=INF;  //将每条边的权重初始化为无穷大
    int s,n,m; //起点，边的数量与权重。
    cin>>s>>n>>m;
    dist[s]=0;//起点到自己的最短路径为0
    for (int i=1;i<n;i++)
        cin>>pos[i]; //保存结点
    pos[0]=s;
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>edge[i].u>>edge[i].v>>edge[i].w;  //保存边的信息
    }
     if (relax(edge,n,m))
     {
        for (int i=1;i<n;i++)
            cout<<"Distance of "<<i<<": "<<dist[pos[i]]<<"\n";
     }
     else
        cout<<"No answer\n";
     return 0;
}

测试数据：