Bellman-Ford算法思想

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w 是边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：

（1）初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

（2）迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

（3）检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

算法描述如下：

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean   //图G ，边集 函数 w ，s为源点

1        for each vertex v ∈ V（G） do        //初始化 1阶段

2            d[v] ←+∞

3        d[s] ←0;                             //1阶段结束

4        for i=1 to |v|-1 do               //2阶段开始，双重循环。

5           for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。

6              If d[v]> d[u]+ w(u,v) then      //松弛判断

7                 d[v]=d[u]+w(u,v)               //松弛操作   2阶段结束

8        for each edge（u,v） ∈E(G) do

9            If d[v]> d[u]+ w(u,v) then

10            Exit false

11    Exit true

适用条件&范围

　　1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v); 

　　2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图); 

　　3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示); 

　　4.差分约束系统;

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/* Let INFINITY be an integer value not likely to be
   confused with a real weight, even a negative one. 
*/
   
#define INFINITY ((1 << 14)-1)

typedef struct 
{
    int source;
    int dest;
    int weight;
} Edge;

void BellmanFord(Edge edges[], int edgecount, int nodecount, int source)
{
    int *distance =(int*) malloc(nodecount*sizeof(int));
    int i, j;
    for (i=0; i < nodecount; ++i)
       distance[i] = INFINITY;
    distance[source] = 0;
    for (i=0; i < nodecount; ++i) 
    {
       int nbChanges = 0; 
       for (j=0; j < edgecount; ++j) 
       {
            if (distance[edges[j].source] != INFINITY) 
            {
                int new_distance = distance[edges[j].source] + edges[j].weight;
                if (new_distance < distance[edges[j].dest]) 
                {
                  distance[edges[j].dest] = new_distance;
                  nbChanges++; 
                } 
            }
        }
         // if one iteration had no impact, further iterations will have no impact either
        if (nbChanges == 0) break; 
    }

    for (i=0; i < edgecount; ++i) 
    {
        if (distance[edges[i].dest] > distance[edges[i].source] + edges[i].weight) 
        {
            puts("Negative edge weight cycles detected!");
            free(distance);
            return;
        }
    }

    for (i=0; i < nodecount; ++i) 
    {
        printf("The shortest distance between nodes %d and %d is %d\n", source, i, distance[i]);
    }

    free(distance);
    return;
}

int main(void)
{
    /* This test case should produce the distances 2, 4, 7, -2, and 0. */
    Edge edges[10] = {{0,1, 5}, {0,2, 8}, {0,3, -4}, {1,0, -2},
                      {2,1, -3}, {2,3, 9}, {3,1, 7}, {3,4, 2},
                      {4,0, 6}, {4,2, 7}};
    BellmanFord(edges, 10, 5, 4);
    return 0;
}