刷题的本意不在于刷了多少题，而在于通过刷题理解了多少算法，理解有多深……

Bellman-Ford算法与Dijkstra算法类似，也是用于求单源点的最短路径，与Dijkstra算法不同的是，Dijkstra算法只能用于求非负权值有向图（无向图可以看成是有向图）的单源点最短路径，而Bellman-Ford算法可以求含负权的单源点有向图的最短路径，而且Bellman-Ford算法还可以用于判断图中是否存在负权回路（负权回路即是图中存在一个环，环上的所有权值之和是负数，那么这个环就是负权回路）。但存在负权回路的图是不能够求最短路径的，因为求最短路径时会在负权回路上不断地兜圈子，所有的最短路径长度会任意小。

Bellman-Ford算法的实现很简单，但理解起来并不容易，比较复杂。原理是进行n-1次的松弛操作（n是结点个数），每次松弛操作时从边的角度出发，更新每个结点到源点的距离，使得每个结点到源点距离逐步逼近最短距离，一共要进行n-1次的松弛操作。

对于存在最短距离的有向图来说，任意一条最短路径都不可能存在正权回路，也不可能存在负权回路，因为最短路径最多只包含n-1条边，其次从源点可达的所有顶点如果存在最短路径，则这些最短路径构成以源点s为根的最短路径树，Bellman-Ford算法的松弛过程本质上就是按顶点距离源点s的层次，逐次生成这棵最短路径树的过程。

对于权值均为正的有向图（无向图转化为有向图）而言，进行完第一次松弛操作，就是找到了层次最多为1的那些树枝，即找到了与s最多有一条边相连的那些顶点的最短路径，进行完第二次的松弛操作后，就找到了层次最多为2的那些树枝，即找到了与s经过两条边的那些顶点的最短路径，………因为最短路径最多只包含n-1条边，所以进行n-1次的松弛操作就可以。每实施一次松弛操作就会有一层的顶点找到最短路径，且这些顶点的最短路径长度会保持不变，在以后的松弛操作中不会受影响。

对于有负权的无负权回路的有向图（无向图转化为有向图）则不然，进行完第i次松弛操作不一定就找到了第i层结点的最短路径，与边的顺序有关。

对于存在负权回路的图来说，是不能找到最短路径的，进行完n-1次的松弛操作后还能更新，因为寻在最短路径时会不断地在负权回路上兜圈子，所有的最短路径长度会任意小。如果不能理解可以借助三个有向图来理解：

第一个图   起点    终点   权值         1    2    -2    ，    2     5     5  ，    4     5     2   ，  2    3   -2   ，   3      4     3  ， 4     2     2   ， 1     4   3     ；第二个图   起点   终点    权值     1    2    -2    ，    2     5     5  ，    4     5     2   ，  2    3   -2   ，   3      4     -3  ， 4     2     2   ， 1     4   3     ；    第三个图    起点   终点    权值    1    2    2    ，    2     5     5  ，    4     5     2   ，  2    3   2   ，   3      4     3  ， 4     2     2   ， 1     4   3    ；       

  第一个图不含负权回路，但含负权，第二个图含负权回路，第三个图权值均为正，源点都是1，分析完这三个图，就能够很好地理解Bellman-Ford算法。

分析完这三个图就会发现Bellman-Ford算法浪费了大量的时间在做没必要的松弛操作，所以算法效率很低，需要进行优化。其中有一个小的优化就是每次松弛时设置以标志flag，初值为false，因为可能没有进行第n-1次松弛操作时，顶点到源点的距离就不能更新了（即已经找到了所有结点的路径），如果下次松弛时仍要更新到源点的最短距离，则值flag的值为true,进行完这次松弛操作后，如果flag的值为false,则直接退出，已经找到了所有结点的最短路径长度。还有其他优化方法，如SPFA等，效率很高。

Bellman-Ford算法实现代码：x[i],y[i],w[i]分别表示第i条边的起点、终点、权值，d[i]表示顶点i到源点最短距离，m条边,n个顶点。

for(i=1;i<n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
if(d[x[j]]+w[j]<d[y[j]])
d[y[j]]=d[x[j]]+w[j];
for(i=1;i<=m;i++)
if(d[x[i]]+w[i]<d[y[i]])
return false;
else
return true;