一、Bellman-Ford算法
最优性原理
它是最优性原理的直接应用，算法基于以下事实：
l 如果最短路存在，则每个顶点最多经过一次，因此不超过n-1条边；
l 长度为k的路由长度为k-1的路加一条边得到；
l 由最优性原理，只需依次考虑长度为1，2，…，k-1的最短路。
l 单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
l 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
l 边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
l 差分约束系统（需要首先构造约束图，构造不等式时>=表示求最小值, 作为最长路，<=表示求最大值, 作为最短路。<=构图时, 有负环说明无解；求不出最短路（为Inf）为任意解。>=构图时类似）。
算法描述
l 对每条边进行|V|-1次Relax操作;
l 如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。
时空复杂度
for i:=1 to |V|-1 do
for 每条边(u,v)∈E do Relax(u,v,w);
for每条边(u,v)∈E do
if dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)
算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单，适用范围又广，虽然复杂度稍高，仍不失为一个很实用的算法。
改进和优化 如果循环n-1次以前已经发现不存在紧边则可以立即终止； Yen氏改进（不降低渐进复杂度）；SPFA算法
二、 SPFA算法
算法简介
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。 它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。
SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此，算法大致流程是用一个队列来进行维护，即用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时，源点s入队。当队列不为空时，取出队首顶点，对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功，且该邻接点不在队列中，则将其入队。经过有限次的松弛操作后，队列将为空，算法结束。SPFA算法的实现，需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的标记数组mark。为了方便查找某个顶点的邻接点，图采用临界表存储。
Procedure SPFA;
Begin
initialize-single-source(G,s);
initialize-queue(Q);
enqueue(Q,s);
while not empty(Q) do begin
u:=dequeue(Q);
for each v∈adj[u] do begin
tmp:=d[v]; relax(u,v);
if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then enqueue(v);
end;
end;
End;
负环处理
需要特别注意的是：仅当图不存在负权回路时，SPFA能正常工作。如果图存在负权回路，由于负权回路上的顶点无法收敛，总有顶点在入队和出队往返，队列无法为空，这种情况下SPFA无法正常结束。
判断负权回路的方案很多，世间流传最广、比较容易实现并且高效的方法的是记录每个结点进队次数，超过|V|次表示有负权。
三、 学以致用
POJ 1201 Intervals 差分约束系统
设S(i)为 0..i-1 中在最终序列中的的整数个数。则约束条件如下:
S(b)-S(a) >= c
0 <= S(i+1) – S(i) <= 1 <==> S(i+1)-S(i) >= 0;
S(i)-S(i+1) >= -1
注意本题要求的是最小值, 而按照>=号建图后发现图中有负环, 怎么办呢?
其实很简单, 本题求的不是最短路, 而是最长路! Bellman_ford即可!
POJ 1275 Cashier Employment 出纳员的雇佣
黑书上有详细讲解
POJ 1364 King 差分约束系统
这个题目构图之后, 只需要用bellman_ford判断是否有负圈.
构图方法:
首先进行转换:a[j]+…+a[j+m] = a[1]+…a[j+m] – (a[1]+…+a[j-1]) = sum[j+m] –
sum[j-1] >(<) ki. 差分约束只能全部是<=或者(>=).
第二步转换: sum[j+m]-sum[j-1] <= ki-1 或者 sum[j-1]-sum[j+m] <= -ki-1.
约束图构造好后就是简单的Bellman-Ford了!
POJ 1716 Integer Intervals 是1201的简单版本, 贪心算法能够得到更好的效果.
POJ 2983 Is the Information Reliable?
差分约束题, 处理一下等号的情况, 然后普通的Bellman_ford
POJ 3159 Candies 最短路径
Bellman-Ford超时, Dijkstra算法可以高效解决, SPFA(队列)居然超时…SPFA修改为堆栈实现就过了.
POJ 3169 Layout 差分约束
Bellman-Ford 和 SPFA 实现均可
POJ 3259 Wormholes 判断负权回路
TOJ 2976 Path 单纯的最短路径 可练习SPFA
ZOJ 3033 Board Games 我做的第一道Bellman-Ford题目
首先，DFS判断可达性，不可达直接输出infinity结束，可达，bellman-ford判断是否存在负环，存在输出infinity，否则，输出最短距离。
四、 参考资料
《算法导论》；《算法艺术与信息学竞赛》；《算法艺术与信息学竞赛学习指导》；NOCOW；百度百科；alpc55的小地方；highkobe；（谢谢分享）
p.s.：匆匆总结拿来分享，如有不当之处，望指出！—-By Fandywang
