转:Bellman-Ford算法及其改进---SPFA算法

 

一、Bellman-Ford算法

最优性原理

 

它是最优性原理的直接应用,算法基于以下事实:

l          如果最短路存在,则每个顶点最多经过一次,因此不超过n-1条边;

l          长度为k的路由长度为k-1的路加一条边得到;

l          由最优性原理,只需依次考虑长度为12,…,k-1的最短路。

适用条件&范围

l          单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

l          有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

l          边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

l          差分约束系统(需要首先构造约束图,构造不等式时>=表示求最小值, 作为最长路,<=表示求最大值, 作为最短路。<=构图时, 有负环说明无解;求不出最短路(为Inf)为任意解。>=构图时类似)。  

算法描述

l          对每条边进行|V|-1Relax操作;

l          如果存在(u,v)E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为sv的最短距离,pre[v]为前驱。   

时空复杂度                                                                                            

for i:=1 to |V|-1 do

    for 每条边(u,v)E do   Relax(u,v,w);

for每条边(u,v)E do

if dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)

算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单,适用范围又广,虽然复杂度稍高,仍不失为一个很实用的算法。

改进和优化   如果循环n-1次以前已经发现不存在紧边则可以立即终止; Yen氏改进(不降低渐进复杂度);SPFA算法

二、             SPFA算法

算法简介

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)Bellman-Ford算法的一种队列实现,减少了不必要的冗余计算。 它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,可以处理负边。

算法流程

SPFABellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到:只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点,才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此,算法大致流程是用一个队列来进行维护,即用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时,源点s入队。当队列不为空时,取出队首顶点,对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功,且该邻接点不在队列中,则将其入队。经过有限次的松弛操作后,队列将为空,算法结束。SPFA算法的实现,需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的标记数组mark。为了方便查找某个顶点的邻接点,图采用临界表存储。

算法代码

Procedure SPFA;

Begin

             initialize-single-source(G,s);

             initialize-queue(Q);

             enqueue(Q,s);

             while not empty(Q) do begin

                u:=dequeue(Q);

                for each vadj[u] do begin

                   tmp:=d[v]; relax(u,v);

                   if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then enqueue(v);

                   end;

                end;

End;

负环处理

   需要特别注意的是:仅当图不存在负权回路时,SPFA能正常工作。如果图存在负权回路,由于负权回路上的顶点无法收敛,总有顶点在入队和出队往返,队列无法为空,这种情况下SPFA无法正常结束。

判断负权回路的方案很多,世间流传最广、比较容易实现并且高效的方法的是记录每个结点进队次数,超过|V|次表示有负权

三、             学以致用

POJ 1201 Intervals 差分约束系统

S(i) 0..i-1 中在最终序列中的的整数个数。则约束条件如下:

S(b)-S(a) >= c

0 <= S(i+1) – S(i) <= 1 <==> S(i+1)-S(i) >= 0;

                             S(i)-S(i+1) >= -1

注意本题要求的是最小值, 而按照>=号建图后发现图中有负环, 怎么办呢?

其实很简单, 本题求的不是最短路, 而是最长路! Bellman_ford即可!

POJ 1275 Cashier Employment 出纳员的雇佣

黑书上有详细讲解

POJ 1364 King 差分约束系统

这个题目构图之后, 只需要用bellman_ford判断是否有负圈.

构图方法:

首先进行转换:a[j]+…+a[j+m] = a[1]+…a[j+m] – (a[1]+…+a[j-1]) = sum[j+m] –

 

sum[j-1] >(<) ki. 差分约束只能全部是<=或者(>=).

第二步转换: sum[j+m]-sum[j-1] <= ki-1 或者 sum[j-1]-sum[j+m] <= -ki-1.

约束图构造好后就是简单的Bellman-Ford!

POJ 1716 Integer Intervals 1201的简单版本, 贪心算法能够得到更好的效果.

POJ 2983 Is the Information Reliable?

差分约束题, 处理一下等号的情况, 然后普通的Bellman_ford

POJ 3159 Candies 最短路径

Bellman-Ford超时, Dijkstra算法可以高效解决, SPFA(队列)居然超时…SPFA修改为堆栈实现就过了.

POJ 3169 Layout 差分约束

Bellman-Ford SPFA 实现均可

POJ 3259 Wormholes 判断负权回路

TOJ 2976 Path 单纯的最短路径 可练习SPFA

ZOJ 3033 Board Games 我做的第一道Bellman-Ford题目

首先,DFS判断可达性,不可达直接输出infinity结束,可达,bellman-ford判断是否存在负环,存在输出infinity,否则,输出最短距离。

 

 

四、             参考资料

 

《算法导论》;《算法艺术与信息学竞赛》;《算法艺术与信息学竞赛学习指导》;NOCOW;百度百科;alpc55的小地方highkobe;(谢谢分享)

 

p.s.:匆匆总结拿来分享,如有不当之处,望指出!—-By Fandywang

    原文作者:Bellman - ford算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/3717194
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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