迪杰斯特拉(Dijkstra)算法求单源最短路径
由Dijkstra提出的一种按路径长度递增序产生各顶点最短路径的算法。
（1）按路径长度递增序产生各顶点最短路径
若按长度递增的次序生成从源点s到其它顶点的最短路径，则当前正在生成的最短路径上除终点以外，其余顶点的最短路径均已生成（将源点的最短路径看作是已生成的源点到其自身的长度为0的路径）。
关键字路径长度递增序 这个要理解。
Dijkstra算法举例说明
如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册—日志相册”中，名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】
（2）算法基本思想
算法基本思想
设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。
①初始化
初始化时，只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。
当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
注意：
①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD(v)。
（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集
根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
距离为：源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长
为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈ V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点，则必为红点)的”最短”路径长度（简称估计距离）。
若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i] i∈V-S}，则D[k]=SD(k)。
初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w<s，v>，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边<s，v>。
注意：
在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键
（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改
将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：P=<s，…，k，j>。且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径<s，…，k>和边<k，j>组成。
所以，当length(P)=D[k]+w<k，j>小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。
（5）Dijkstra算法
Dijkstra(G，D，s){
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s}；D[s]=0； //设置初始的红点集及最短距离
for( all i∈ V-S )do //对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i]； //设置i初始的估计距离为w<s，i>
//以下是扩充红点集
for(i=0;i<n-1;i++)do{//最多扩充n-1个蓝点到红点集
D[k]=min{D[i]：all i V-S}； //在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
if(D[k]等于∞)
return； //蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，
//表示这些顶点的最短路径不存在。
S=S∪{k}； //将蓝点k涂红后扩充到红点集
for( all j∈V-S )do //调整剩余蓝点的估计距离
if(D[j]>D[k]+G[k][j])
//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
//使j离s更近。
D[j]=D[k]+G[k][j]；
}
}
6)具体实现
void Dijkstra(MGraph *G,int s)
{
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
int S[G->n]; //辅助数组用来标志顶点是否已经在最短路径的顶点集合中
int Dist[G->n]; //到源点的距离
int i,j,u;
int MinDist;
for(i=0;i<G->n;i++) //初始化各数组
{
S[i]=0;
Dist[i]=G->edges[s][i];//设置i初始的估计距离为w<s，i> //距离初始化
}
S[s]=1; //顶点s加入到集合s中
for(i=0;i<G->n-1;i++)
{ //将最短路径顶点加入到s中
MinDist=INFINITE;
u=-1;
for(j=0;j<G->n;j++) //找当前的最短路径
{
if(S[j]==0 && Dist[j]<MinDist)
{
u=j;
MinDist=Dist[j];
}
}
S[u]=1; //j顶点加入到s中
for( j=0;j<G->n;j++) //根据顶点调整当前的最短路径
{
if(S[j]==0&&Dist[u]+G->edges[u][j]<Dist[j])
{
Dist[j]=Dist[u]+G->edges[u][j];
}
}
}
for(j=0;j<G->n;j++)
{
if(Dist[j]==INFINITE)
{
printf(“%d到%d的无路径 \n”,s,j);
}
else
printf(“%d到%d的最短距离是%d \n”,s,j,Dist[j]);
}
}
7) 最短路径的打印与求两点间的最短路径
void PrintPath(int path[],int i,int v0)//打印v0到顶点i的路径
{
int k;
k=path[i];
if(k==v0)
return;
PrintPath(path,k,v0);
printf(“%d–>”,k);
}
void Dijkstra(MGraph *G,int s)
{
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
int S[G->n]; //辅助数组用来标志顶点是否已经在最短路径的顶点集合中
int Dist[G->n]; //到源点的距离
int Path[G->n]; //存放路径,注意这里的路径信息表示什么意思？Path[i]表示源点s到达顶点i的最短路径中的最后一个顶点j(i!=j)
//例如顶点0到顶点2的路径为0–>1–>3–>2 即Path[2]=3，那么从0到顶点3的路径的最后一个顶点是什么呢，这时可以看Path[3];很显然Path[3]==1
int i,j,u;
int MinDist;
for(i=0;i<G->n;i++) //初始化各数组
{
S[i]=0;
Dist[i]=G->edges[s][i];//设置i初始的估计距离为w<s，i> //距离初始化
if(G->edges[s][i]<INFINITE)
{
Path[i]=s; //路径初始化
}
else
Path[i]=-1; //不能用0表示，0表示顶点序号0
}
S[s]=1; //顶点s加入到集合s中
Path[s]=0;
for(i=0;i<G->n-1;i++)
{ //将最短路径顶点加入到s中
MinDist=INFINITE;
u=-1;
for(j=0;j<G->n;j++) //找当前的最短路径
{
if(S[j]==0 && Dist[j]<MinDist)
{
u=j;
MinDist=Dist[j];
}
}
S[u]=1; //j顶点加入到s中
for( j=0;j<G->n;j++) //根据顶点调整当前的最短路径
{
if(S[j]==0&&Dist[u]+G->edges[u][j]<Dist[j])
{
Dist[j]=Dist[u]+G->edges[u][j];
Path[j] = u;//保存路径
}
}
}
printf(“输出最短路径:\n”);
for(i=0;i<G->n;i++)//用于输出最短路径和路径长度
{
if(Dist[i]==INFINITE||i==s)
{
printf(“从%d到%d不存在路径\n”,s,i);
}
else if(S[i]==1&&i!=s)
{ printf(“从%d到%d的最短距离为:%d\t”,s,i,Dist[i]);
printf(“最短路径为:”);
printf(“%d–>”,s);
PrintPath(Path,i,s); //打印s到顶点i的路径
printf(“%d\n”,i);
}
}
}
8）Floyd算法 计算图的任意两点间的最短路径
这个算法较简单，特别容易记住和使用，就是效率较低。
void PrintPath(int path[],int i,int v0)//打印v0到顶点i的路径
{
//存放路径,注意这里的路径信息表示什么意思？Path[i]表示源点s到达顶点i的最短路径中的最后一个顶点j(i!=j)
//例如顶点0到顶点2的路径为0–>1–>3–>2 即Path[2]=3，那么从0到顶点3的路径的最后一个顶点是什么呢，这时可以看Path[3];很显然Path[3]==1
//所以打印路径可以用递归方法打印直到Path[k]=k时停止
int k;
k=path[i];
if(k==v0)
return;
PrintPath(path,k,v0);
printf(“%d–>”,k);
}
//FLOYD算法 求任意两点最短路径矩阵
void floyd(MGraph *G , int s, int d ) //FLOYD算法 计算矩阵表示的图的任意两点的距离和路径
{
int Dist[G->n][G->n];
int Path[G->n][G->n];
int i,j;
// 先初始化_arrPath
for ( i = 0; i < G->n; ++i )
{
for ( j = 0; j <G->n; ++j )
{
Path[i][j] = i;
}
}
// 先初始化Dis
for ( i = 0; i < G->n; ++i )
{
for ( j = 0; j < G->n; ++j )
{
Dist[i][j] = G->edges[i][j];
}
}
//FLOYD算法 计算所以最短路径的矩阵信息
for ( int k = 0; k < G->n; ++k )
{
for ( i = 0; i < G->n; ++i )
{
for ( j = 0; j < G->n; ++j )
{
if ( Dist[i][k] + Dist[k][j] < Dist[i][j] )
{ // 找到更短路径
Dist[i][j] = Dist[i][k] + Dist[k][j];
Path[i][j] = Path[k][j];//保存路径
}
}
}
}
printf(“从%d到%d的最短距离为:%d\t”,s,d,Dist[s][d]);
printf(“最短路径为:”);
printf(“%d–>”,s);
PrintPath(Path[s],d,s); //打印s到顶点d的路径
printf(“%d\n”,d);
}
