Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点（节点需为源点)到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，注意该算法要求图中不存在负权边。
实例:假设有A,B,C,D四个城市,(这里讨论的是有向网) 它们的距离为: A->B(10),A->C(11),B->D(12),C->D(13);
所谓単源路径就是解决从源点 A开始找出到其他城市的最短距离(除本身外的其他所有城市)。Dijkstra算法可以求出A->B(10),A->C(11),A->D(22);
拓展2：多源最短路径(常用Floyd算法)是解决任意两点间的最短路径的一种算法，(不局限于从源点出发,到其他各个顶点 ）可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
图的创建:
void createGraph(tnode t){
cout<<"输入顶点和边数:"<<endl;
cin>>t->v>>t->e;
cout<<"输入顶点信息:"<<endl;
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
cin>>t->vex[i];
}
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
for(int j = 1;j<=t->v;j++){
t->wei[i][j] = LIMITLESS;
}
}
cout<<"输入两连接点下标和权值:"<<endl;
int k1,k2,weight;
for(int i = 1;i<=t->e;i++){
cin>>k1>>k2>>weight;
t->wei[k1][k2] = weight;
}
}
void printGraph(tnode t){
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
for(int j = 1;j<=t->v;j++){
if(t->wei[i][j]!=LIMITLESS){
cout<<t->wei[i][j]<<" ";
}
else{
cout<<"oo"<<" ";
}
}
cout<<endl;
}
}dijkstra算法:
void dijkstra(tnode t,int sour){
bool s[MAX_NUM]; //标识
int dist[MAX_NUM]; //源点到顶点距离
int prev[MAX_NUM] = {0}; //顶点的前置顶点
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
dist[i] = t->wei[sour][i]; //记录从源点到各顶点的路径长
s[i] = false; //初始化标识数组
if(dist[i]!=LIMITLESS){ //若源点到顶点的距离不为空,则将源点置为顶点的前置点
prev[i] = sour;
}
else{
prev[i] = 0; //0表示前置节点不存在
}
}
dist[sour] = 0,s[sour] = true;
for(int i = 1;i<t->v;i++){
int item = LIMITLESS;
int flag = sour;
for(int j = 1;j<=t->v;j++){ //找到距源点距离最小且未被标识过的顶点
if(!s[j]&&dist[j]<item){
flag = j;
item = dist[j];
}
}
s[flag] = true;
for(int i = 1;i<=t->v;i++){ //从上面找到的顶点向其它顶点探索,优化源点到其他顶点的距离
if(!s[i]&&t->wei[flag][i]<LIMITLESS){
int newdist = dist[flag]+t->wei[flag][i];
if(newdist<dist[i]){ //其它顶点距离更新
dist[i] = newdist;
prev[i] = flag;
}
}
}
}
stack<int> ss[MAX_NUM]; //栈实现打印路径构建
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
cout<<"\n源点到顶点"<<i<<"的最短距离为:"<<dist[i];
cout<<",最短路径构建为:"<<endl;
int p = prev[i];
if(!p){
cout<<"源点到自身路径构建为空!"<<endl;
}else{
while(p){
ss[i].push(p);
p = prev[p];
}
while(!ss[i].empty()){
int k = ss[i].top();
cout<<k;
ss[i].pop();
if(!ss[i].empty()){
cout<<"->";
}
}
if(i!=sour) cout<<"->"<<i; //顶点自身值打印
}
}
完整代码:
/**
@单源最短路径(dijkstra算法)
*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<stack>
#define MAX_NUM 50
#define LIMITLESS 65535
using namespace std;
typedef struct Tnode{
int v,e;
int vex[MAX_NUM];
int wei[MAX_NUM][MAX_NUM];
}Tnode,*tnode;
void createGraph(tnode t){
cout<<"输入顶点和边数:"<<endl;
cin>>t->v>>t->e;
cout<<"输入顶点信息:"<<endl;
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
cin>>t->vex[i];
}
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
for(int j = 1;j<=t->v;j++){
t->wei[i][j] = LIMITLESS;
}
}
cout<<"输入两连接点下标和权值:"<<endl;
int k1,k2,weight;
for(int i = 1;i<=t->e;i++){
cin>>k1>>k2>>weight;
t->wei[k1][k2] = weight;
}
}
void printGraph(tnode t){
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
for(int j = 1;j<=t->v;j++){
if(t->wei[i][j]!=LIMITLESS){
cout<<t->wei[i][j]<<" ";
}
else{
cout<<"oo"<<" ";
}
}
cout<<endl;
}
}
void dijkstra(tnode t,int sour){
bool s[MAX_NUM]; //标识
int dist[MAX_NUM]; //源点到顶点距离
int prev[MAX_NUM] = {0}; //顶点的前置顶点
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
dist[i] = t->wei[sour][i]; //记录从源点到各顶点的路径长
s[i] = false; //初始化标识数组
if(dist[i]!=LIMITLESS){ //若源点到顶点的距离不为空,则将源点置为顶点的前置点
prev[i] = sour;
}
else{
prev[i] = 0; //0表示前置节点不存在
}
}
dist[sour] = 0,s[sour] = true;
for(int i = 1;i<t->v;i++){
int item = LIMITLESS;
int flag = sour;
for(int j = 1;j<=t->v;j++){ //找到距源点距离最小且未被标识过的顶点
if(!s[j]&&dist[j]<item){
flag = j;
item = dist[j];
}
}
s[flag] = true;
for(int i = 1;i<=t->v;i++){ //从上面找到的顶点向其它顶点探索,优化源点到其他顶点的距离
if(!s[i]&&t->wei[flag][i]<LIMITLESS){
int newdist = dist[flag]+t->wei[flag][i];
if(newdist<dist[i]){ //其它顶点距离更新
dist[i] = newdist;
prev[i] = flag;
}
}
}
}
stack<int> ss[MAX_NUM]; //栈实现打印路径构建
for(int i = 1;i<=t->v;i++){
cout<<"\n源点到顶点"<<i<<"的最短距离为:"<<dist[i];
cout<<",最短路径构建为:"<<endl;
int p = prev[i];
if(!p){
cout<<"源点到自身路径构建为空!"<<endl;
}else{
while(p){
ss[i].push(p);
p = prev[p];
}
while(!ss[i].empty()){
int k = ss[i].top();
cout<<k;
ss[i].pop();
if(!ss[i].empty()){
cout<<"->";
}
}
if(i!=sour) cout<<"->"<<i; //顶点自身值打印
}
}
}
int main(){
Tnode t;
createGraph(&t);
cout<<"构建的图为:"<<endl;
printGraph(&t);
cout<<"dijkstra算法构建的顶点最短路径为:"<<endl;
dijkstra(&t,1);
return 0;
}
/*
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
*/
