之前的讨论了无权图的最短路径算法。数据结构与算法——无权最短路径算法的C++实现
如果是加权图，那么问题就变得困难了，不过仍然可以采用无权情况的想法。
我们仍然保留之前的信息。因此，每个顶点会被标记为known或unknown，每个顶点保留一个尝试性的距离dv（这个距离是只使用一些known顶点作为中间顶点从s到v的最短路径的长），每个顶点还保留字段pv，该字段是记录引起dv变化的最后的顶点。
图顶点信息的数据结构：
//保存每个顶点信息的数据结构
struct GraphNode{
bool known;//当前顶点距离起点的距离是否确定
int dist;//当前顶点到起点的最短距离
int path;//当前顶点距离起点的最短路径的前一个顶点
};
Dijkstra算法简介：
解决单源最短路径问题的一般方法叫做Dijkstra算法。这个算法是贪心算法最好的例子。
贪心算法一般分阶段求解问题，在每个阶段它都把出现的东西当作是最好的去处理。
与无权最短路径算法一样，Dijkstra算法按阶段进行。在每个阶段，Dijkstra算法选择一个顶点v,它在所有的unknown顶点中具有最小的dv，同时算法声明从s到v的最短路径是known的。其它阶段由顶点dv的更新工作成。
主要思想就是根据已经确定了的点的距离，来确定该点相邻顶点的距离，不断的向外散射，直到所以的点的到起点的最短距离确定为止。
下面是Dijkstra算法具体步骤图示：
假设源点s=v1，下面是求s到其它点的最短距离。
第一步：初始化顶点信息
第二步：
顶点v1就是顶点s，那么距离顶点v1路径长为0，将顶点v1字段的known设为true。
与s相邻的点为v2,v4。v1到v2的距离为4，v1到v4的距离为1。并更新v2和v4的距离。
p2 = v1; p4 = v1;
第三步：
寻找unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。所以将v4标记为known。
然后，再根据顶点v4的dv值更新与v4相邻的所有点（v3,v6,v7,v5）的距离。
d4+d43 = 1+2 < d3,所以d3 = 3;p3 = v4;
d4+d46 = 1+8 < d6,所以d6 = 9;p6 = v4;
d4+d47 = 1+4 < d7,所以d7 = 5;p7 = v4;
d4+d45 = 1+2 < d5,所以d5 = 3;p5 = v4;
第四步：
执行第三步，寻找
unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。
所以将v2标记为known。
然后，再根据顶点v2的dv值更新与v2相邻的所有点（v4,v5）的距离。因为v4已经确定了，就不用更新了。因为d2+d25 = 2 + 10 > d5,d5的值为3。所以不需要更新d5。
第五步：
执行第三步，寻找
unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。
所以将v5标记为known。
然后，再根据顶点v5的dv值更新与v5相邻的所有点（v7）的距离。因为d5+d57 = 3+6>d7,所以d7不用更新。
第六步：
执行第三步，寻找
unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。
所以将v3标记为known。
然后，再根据顶点v3的dv值更新与v3相邻的所有点（v1，v6）的距离。因为v1是known的，所以d1不用更新。d3+d36 = 3+5 < d6，所以d6 = d3+d36 = 8; p6 = v3;
第七步：
执行第三步，寻找
unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。
所以将v7标记为known。
然后，再根据顶点v7的dv值更新与v7相邻的所有点（v6）的距离。因为d7+d76 = 5+1<d6,所以d6=d7+d76 = 6; p6 = v7;
第八步：
执行第三步，寻找
unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。
所以将v6标记为known。
然后，再根据顶点v6的dv值更新与v6相邻的所有点的距离。结果没有v6指向的其它顶点。
第九步：
执行第三步，寻找
unknown的顶点中距离最短的顶点，并将该顶点标记为known。结果没有找到满足条件的顶点，表明此时已经确定了所有顶点的距离，则退出算法。
Dijkstra算法的基本步骤：
1、初始化顶点信息；v.known = flase;
v.dist = INFINITY;
v.path = 0;
2、对起点s的dist字段设为0;s.dist = 0;
3、从所有顶点中找到dist最小的并且known为false的顶点v。然后将该顶点v的known置为true;
然后更新与顶点v相邻的所有其它known为false的顶点w的dist和path的值。
如果v.dist+distance(v,w) < w.dist;则更新w.dist = v.dist + distance(v, w);w.path=v;
4、循环执行第3步，直到从所有顶点中找不到known为false的顶点v为止，找不到合适的顶点的时候则退出算法。
Dijkstra算法的伪代码：
void Graph::dijkstra(Vertex s)
{
//初始化顶点信息
for each Vertex v
{
v.known = false;
v.dist = INFINITY;
v.path = 0;
}
//起点s的dist设为0
s.dist = 0;
//循环执行第3步
for(; ;)
{
//从所有顶点中找到dist最小的并且known为false的顶点v
Vertex v = unknown smallest distance vertex;
//如果没有找到满足条件的v，则退出算法（此时所有顶点已经全部确定了）
if(v == NOT_A_VERTEX)
break;
//将该顶点v的known置为true
v.known = true;
//更新与顶点v相邻的所有其它known为false的顶点w的dist和path的值
for each Vertex w adjacent to v
{
if(!w.known)
{
//更新w.dist
if(v.dist+distance(v,w) < w.dist)
{
w.dist = v.dist + distance(v,w);
w.path = v;
}
}
}
}
}
Dijkstra算法的代码：
/*************************************************
* 函数名称：dijkstra(int src)
* 功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离
* 参数列表：src是起点
* 返回结果：void
*************************************************/
void Graph::dijkstra(int src)
{
//初始化顶点信息
for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
nodeArr[i].known = false;
nodeArr[i].dist = INFINITY;
nodeArr[i].path = 0;
}
//重要的一步，开启算法的关键一步
nodeArr[src].dist = 0;
for(; ;){
//找到unknown的dist最小的顶点
int v = 0;
int max = INFINITY;
for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
if(!nodeArr[i].known && (max > nodeArr[i].dist)){
max = nodeArr[i].dist;
v = i;
}
}
//没有找到满足条件的顶点,退出算法
if(max == INFINITY)
break;
nodeArr[v].known = true;
//更新与v相邻所有顶点w的dist,path
for(list<Node>::iterator it = graph_list[v].begin(); it != graph_list[v].end(); ++it){
if(!nodeArr[(*it).vertex].known){
if(nodeArr[v].dist + (*it).weight < nodeArr[(*it).vertex].dist){
nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[v].dist + (*it).weight;
nodeArr[(*it).vertex].path = v;
}
}
}
}
}图类的接口：
/*******************************************************
* 类名称： 邻接表图
********************************************************/
class Graph{
private:
int edge_num;//图边的个数
int vertex_num;//图的顶点数目
list<Node> * graph_list;//邻接表
vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组
public:
Graph(){}
Graph(char* graph[], int edgenum);
~Graph();
void print();
void dijkstra(int src);
void printShorestPath();
private:
vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);
void addEdge(char* graph[], int columns);
};测试主函数：
int main(int argc, char *argv[])
{
char *topo[5000];
int edge_num;
char *demand;
int demand_num;
char *topo_file = argv[1];
edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);
if (edge_num == 0)
{
printf("Please input valid topo file.\n");
return -1;
}
int src;
cout << "输入求最短路径的起点：";
cin >> src;
Graph G(topo, edge_num);
G.print();
cout << "Dijkstra: " << endl;
G.dijkstra(src);
G.printShorestPath();
release_buff(topo, edge_num);
return 0;
}测试的图的数据：
1,1,2,2
2,1,4,1
3,2,4,3
4,2,5,10
5,3,1,4
6,3,6,5
7,4,3,2
8,4,6,8
9,4,5,2
10,4,7,4
11,5,7,6
12,7,6,1图类的源代码：
#ifndef GRAPH_H
#define GRAPH_H
#include <list>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iterator>
#include <stdio.h>
#include <errno.h>
#include <unistd.h>
#include <signal.h>
#include <queue>
using namespace std;
#define MAX_VERTEX_NUM 600
#define INFINITY 1000000//将INFINITY定义为无穷大的值
//保存每个顶点信息的数据结构
struct GraphNode{
bool known;//当前顶点距离起点的距离是否确定
int dist;//当前顶点到起点的最短距离
int path;//当前顶点距离起点的最短路径的前一个顶点
};
//图节点信息
typedef struct Node{
int edge_num;//边号
int src;//源点
int vertex;//自身
int weight;//边的权重
}Node;
/*******************************************************
* 类名称： 邻接表图
********************************************************/
class Graph{
private:
int edge_num;//图边的个数
int vertex_num;//图的顶点数目
list<Node> * graph_list;//邻接表
vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组
public:
Graph(){}
Graph(char* graph[], int edgenum);
~Graph();
void print();
void dijkstra(int src);
void printShorestPath();
private:
vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);
void addEdge(char* graph[], int columns);
};
/*************************************************
* 函数名称：dijkstra(int src)
* 功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离
* 参数列表：src是起点
* 返回结果：void
*************************************************/
void Graph::dijkstra(int src)
{
//初始化顶点信息
for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
nodeArr[i].known = false;
nodeArr[i].dist = INFINITY;
nodeArr[i].path = 0;
}
//重要的一步，开启算法的关键一步
nodeArr[src].dist = 0;
for(; ;){
//找到unknown的dist最小的顶点
int v = 0;
int max = INFINITY;
for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
if(!nodeArr[i].known && (max > nodeArr[i].dist)){
max = nodeArr[i].dist;
v = i;
}
}
//没有找到满足条件的顶点,退出算法
if(max == INFINITY)
break;
nodeArr[v].known = true;
//更新与v相邻所有顶点w的dist,path
for(list<Node>::iterator it = graph_list[v].begin(); it != graph_list[v].end(); ++it){
if(!nodeArr[(*it).vertex].known){
if(nodeArr[v].dist + (*it).weight < nodeArr[(*it).vertex].dist){
nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[v].dist + (*it).weight;
nodeArr[(*it).vertex].path = v;
}
}
}
}
}
/*************************************************
* 函数名称：printShorestPath()
* 功能描述：将获得的src顶点到其它顶点的最短路径输出
* 参数列表：无
* 返回结果：无
*************************************************/
void Graph::printShorestPath()
{
cout << "顶点\t" << "known\t" << "dist\t" << "path" << endl;
for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
if(nodeArr[i].known)
cout << i << "\t" << nodeArr[i].known << "\t" << nodeArr[i].dist << "\t" << nodeArr[i].path << endl;
}
}
/*************************************************
* 函数名称：print
* 功能描述：将图的信息以邻接表的形式输出到标准输出
* 参数列表：无
* 返回结果：无
*************************************************/
void Graph::print()
{
cout << "******************************************************************" << endl;
//for(int i = 0 ; i < MAX_VERTEX_NUM; ++i){
for(int i = 0 ; i < vertex_num; ++i){
if(graph_list[i].begin() != graph_list[i].end()){
cout << i << "-->";
for(list<Node>::iterator it = graph_list[i].begin(); it != graph_list[i].end(); ++it){
cout << (*it).vertex << "(边号:" << (*it).edge_num << ",权重:" << (*it).weight << ")-->";
}
cout << "NULL" << endl;
}
}
cout << "******************************************************************" << endl;
}
/*************************************************
* 函数名称：get_graph_value
* 功能描述：将图的每一条边的信息保存到一个数组中
* 参数列表: graph：指向图信息的二维数组
columns:图的第几条边
* 返回结果：无
*************************************************/
vector<int> Graph::get_graph_value(char* graph[], int columns)
{
vector<int> v;
char buff[20];
int i = 0, j = 0, val;
memset(buff, 0, 20);
while((graph[columns][i] != '\n') && (graph[columns][i] != '\0')){
if(graph[columns][i] != ','){
buff[j] = graph[columns][i];
j++;
}
else{
j = 0;
val = atoi(buff);
v.push_back(val);
memset(buff, 0, 20);
}
i++;
}
val = atoi(buff);
v.push_back(val);
return v;
}
/*************************************************
* 函数名称：addEdge
* 功能描述：将图的每一条边的信息加入图的邻接表中
* 参数列表：graph：指向图信息的二维数组
columns:图的第几条边
* 返回结果：无
*************************************************/
void Graph::addEdge(char* graph[], int columns)
{
Node node;
vector<int> v = get_graph_value(graph, columns);
node.edge_num = v[0];
node.src = v[1];
node.vertex = v[2];
node.weight = v[3];
//根据顶点的标号，求的总的顶点数目
if(node.vertex > vertex_num)
vertex_num = node.vertex;
//要考虑重复的边，但是边的权重不一样
for(list<Node>::iterator it = graph_list[node.src].begin(); it != graph_list[node.src].end(); ++it){
if((*it).vertex == node.vertex){
if((*it).weight > node.weight){
(*it).weight = node.weight;
}
return;
}
}
graph_list[node.src].push_back(node);
}
/*************************************************
* 函数名称：构造函数
* 功能描述：以邻接表的形式保存图的信息,并保存必须经过的顶点
* 参数列表：graph：指向图信息的二维数组
edgenum:图的边的个数
* 返回结果：无
*************************************************/
Graph::Graph(char* graph[], int edgenum):nodeArr(MAX_VERTEX_NUM)
{
edge_num = edgenum;
vertex_num = 0;
graph_list = new list<Node>[MAX_VERTEX_NUM+1];
for(int i = 0; i < edgenum; ++i){
addEdge(graph, i);
}
//对顶点信息进行初始化
for(int i = 0; i < MAX_VERTEX_NUM; ++i){
nodeArr[i].known = false;
nodeArr[i].dist = INFINITY;
nodeArr[i].path = -1;//如果为-1，表示没有该点,配合dijkstra算法使用
}
vertex_num++;
}
/*************************************************
* 函数名称：析构函数
* 功能描述：释放动态分配的内存
* 参数列表：无
* 返回结果：无
*************************************************/
Graph::~Graph()
{
delete[] graph_list;
}
#endif
测试函数的源代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <assert.h>
#include <time.h>
#include <sys/timeb.h>
#include <errno.h>
#include <unistd.h>
#include <signal.h>
#include <stdio.h>
#include "graphDijkstra.h"
#define MAX_LINE_LEN 4000
int read_file(char ** const buff, const unsigned int spec, const char * const filename);
void release_buff(char ** const buff, const int valid_item_num);
int main(int argc, char *argv[])
{
char *topo[5000];
int edge_num;
char *demand;
int demand_num;
char *topo_file = argv[1];
edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);
if (edge_num == 0)
{
printf("Please input valid topo file.\n");
return -1;
}
int src;
cout << "输入求最短路径的起点：";
cin >> src;
Graph G(topo, edge_num);
G.print();
cout << "Dijkstra: " << endl;
G.dijkstra(src);
G.printShorestPath();
release_buff(topo, edge_num);
return 0;
}
/****************************************************************
* 函数名称：read_file
* 功能描述: 读取文件中的图的数据信息
* 参数列表: buff是将文件读取的图信息保存到buff指向的二维数组中
* spec是文件中图最大允许的边的个数
* filename是要打开的图文件
* 返回结果：无
*****************************************************************/
int read_file(char ** const buff, const unsigned int spec, const char * const filename)
{
FILE *fp = fopen(filename, "r");
if (fp == NULL)
{
printf("Fail to open file %s, %s.\n", filename, strerror(errno));
return 0;
}
printf("Open file %s OK.\n", filename);
char line[MAX_LINE_LEN + 2];
unsigned int cnt = 0;
while ((cnt < spec) && !feof(fp))
{
line[0] = 0;
fgets(line, MAX_LINE_LEN + 2, fp);
if (line[0] == 0) continue;
buff[cnt] = (char *)malloc(MAX_LINE_LEN + 2);
strncpy(buff[cnt], line, MAX_LINE_LEN + 2 - 1);
buff[cnt][4001] = 0;
cnt++;
}
fclose(fp);
printf("There are %d lines in file %s.\n", cnt, filename);
return cnt;
}
/****************************************************************
* 函数名称：release_buff
* 功能描述: 释放刚才读取的文件中的图的数据信息
* 参数列表: buff是指向文件读取的图信息
* valid_item_num是指图中边的个数
* 返回结果：void
*****************************************************************/
void release_buff(char ** const buff, const int valid_item_num)
{
for (int i = 0; i < valid_item_num; i++)
free(buff[i]);
}
运行结果：
