最短路知识点总结（Dijkstra，Floyd，SPFA，Bellman-Ford）
Dijkstra算法：
解决的问题：
带权重的有向图上单源最短路径问题。且权重都为非负值。如果采用的实现方法合适，Dijkstra运行时间要低于Bellman-Ford算法。
思路：
如果存在一条从i到j的最短路径(Vi…..Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi…Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}，应用了贪心的思想。根据这种思路，直接给出Dijkstra算法的伪代码，他可用于计算正权图的单源最短路径，同时适用于无向图和有向图。
清除所有点的标号
设d[0]=0,其他d[i]=INF
循环n次
{
在所有点的标号中，选出d值最小的结点x
给结点x标记
对于从x出发的所有边（x,y），更新d[y]=min{d[y],d[x]+w(x,y)}
}
除了求出最短路的长度外，使用Dijkstra算法也能很方便地打印出结点0到所有节点的最短路本身.
代码实现：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 | void dijkstra( int start) //从start点开始 { int i,j,k; memset (vis,0, sizeof (vis)); //标记是否访问过 for (i=1; i<=n; i++) //n为总点数 { if (i==start) dis[i]=0; else dis[i]=INF; } for (i=1; i<=n; i++) { int r; int min=INF; for (j=1; j<=n; j++) if (!vis[j]&&dis[j]<min) { min=dis[j]; r=j; } vis[r]=1; for (k=1; k<=n; k++) //对所有从r出发的边进行松弛 if (dis[k]<(dis[r]+g[r][k])) dis[k]=dis[k]; else dis[k]=dis[r]+g[r][k]; } return ; } |
Floyd算法：
负权重的边可以存在，但不能存在权重为负值的环路
算法考虑的是一条最短路径上的中间结点。
算法核心思想： 三圈for循环
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 | for ( int k = 0; k < graph.getNumVex(); k++) { for ( int v = 0; v < graph.getNumVex(); v++) { for ( int w = 0; w < graph.getNumVex(); w++) { if (d[v][w] > d[v][k] + d[k][w]) { d[v][w] = d[v][k] + d[k][w]; p[v][w] = p[v][k]; // p[v][w]是v--w最短路径上 v的下一顶点 } } } } |
第一层 k是作为中间顶点
第二层 v是作为起始顶点
第三层 w是作为终点顶点
内层核心代码：
以v为起点，w为终点，再以k作为v和w之间的中间点，去判断d[v][ w]和d[v][k] + d[k][w]的大小关系，如果d[v][w] > d[v][k] + d[k][w]，说明找到从v→w的更短路径了，此时更改d[v][w]的值为d[v][k] + d[k][w]。
p[v][w]的值也要相应改成p[v][k]的值，因为 p[v][k]的值是v→k最短路径上v的后继顶点，而v→w这段最短路径是连接在v→k这段路径后面的，所以令所当然p[v][w]也要指向p[v][k]。
注意：最外层的k循环，前面的n此循环的结果跟后面n+1次循环的错做过程是息息相关，
三次循环完成后，各个顶点之间的最短路径权重会存储在d矩阵中：d[i][j]表示i→j的最短路径权重。
邻接矩阵算法实现：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 | void Floyd(MGraph g) { int A[MAXV][MAXV]; int path[MAXV][MAXV]; int i,j,k,n=g.n; for (i=0;i<n;i++) for (j=0;j<n;j++) { A[i][j]=g.edges[i][j]; path[i][j]=-1; } for (k=0;k<n;k++) { for (i=0;i<n;i++) for (j=0;j<n;j++) if (A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])) { A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; path[i][j]=k; } } } |
Bellman-Ford算法
解决的问题：
一般情况下的单源最短路径问题，这里权重可以为负值。
Bellman-ford算法返回一个布尔值，一表明是否存在一个从源结点可以到达的权重为负的环路。如果存在这样一个环路，算法将告诉我们不存在解决方案，如果没有这种环路的存在算法将给出最短路径和他们的权重。
Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；
以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出 单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
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spfa算法：
算法流程
算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。
这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法
SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：
设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。
维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。
每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于 Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右。
代码模板：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 | SPFA void Spfa() { for ( int i(0); i<num_town; ++i) //初始化 { dis[i] = MAX; visited[i] = false ; } queue< int > Q; dis[start] = 0; visited[start] = true ; Q.push(start); while (!Q.empty()){ int temp = Q.front(); Q.pop(); for ( int i(0); i<num_town; ++i) { if (dis[temp] + road[temp][i] < dis[i]) //存在负权的话，就需要创建一个COUNT数组，当某点的入队次数超过V(顶点数)返回。 { dis[i] = dis[temp] + road[temp][i]; if (!visited[i]) { Q.push(i); visited[i] = true ; } } } visited[temp] = false ; } } |
东拼西凑这四种最短路算法，SPFA到现在还不会，菜鸟就是菜鸟，眼看暑假集训已经过去十来天了，总在抱怨啥都不会，十来天学到了啥呢，
时间会很快的，你要走的路还很长,最近一直在啃书，题也不写，代码都不会敲了，残废…
