[图论]最短路问题 dijkstra算法

2023年10月22日 412次阅读 来源: Dijkstra算法

今天研究的是图论中的一类基础问题：最短路问题

最短路问题是图论中最基础的问题，在程序设计竞赛试题中也经常出现。最短路是给定两个定点，在以这两个点为起点和终点的路径中，边的权值和最小的路径。如果把权值当作距离，考虑最短距离的话就很容易理解了。智力游戏中的求解最少步数问题也可以说是一种最短路问题。

 单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

   假设P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

1、Dijkstra算法

由上述性质可知：如果存在一条从i到j的最短路径(Vi…Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点，那么(Vi…Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源定点V0，首先选择其直接相邻的定点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj定点的最短距离dist[j]=min(dist[j],dist[i]+matrix[i][j])。根据这种思路，假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0}，dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个定点。

1、从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2、更新从i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min(dist[j],dist[i]+matrix[i][j]))

3、直到U=V,停止。

最短路 HDU2544

Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) 
Total Submission(s): 28761    Accepted Submission(s): 12444 

Problem Description

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？ 

Input

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。 
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。 

Output

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间

Sample Input

2 1 1 2 3 3 3 1 2 5 2 3 5 3 1 2 0 0

Sample Output 3 2

#include <stdio.h>

#include <algorithm>
#define MAX 0x3f3f3f3f
#define RANGE 101
int cost[RANGE][RANGE];
int d[RANGE];
bool used[RANGE];
int n,m;
using namespace std;
void Dijkstra( int s )
{
    int i,v,u;
    for( i=1; i<=n; ++i )
    {
        used[i]=false;
        d[i]=cost[1][i];
    }
    d[s]=0;

    while( true )
    {
        v=-1;
        for( u=1; u<=n; ++u )
            if( !used[u] && ( v==-1 || d[u]<d[v]) )
                v=u;
        if( v==-1 ) break;
        used[v]=true;

        for( u=1; u<=n; ++u )
            d[u]= min( d[u],d[v]+cost[v][u] );
    }
}

int main()
{
    int A,B,C,i,j;

    while( scanf("%d%d",&n,&m) )
    {
        if( !n && !m )  break;
        // 初始化
        for( i=1; i<=n; ++i )
            for( j=1; j<=i; ++j )
                if( i==j )  cost[i][j]=0;
                else    cost[i][j]=cost[j][i]=MAX;
        for( i=0; i<m; ++i )
        {
            scanf("%d%d%d",&A,&B,&C);
            cost[A][B]=cost[B][A]=C;
        }
        Dijkstra(1);
        printf("%d\n",d[n]);
    }
    return 0;
}
    原文作者：Dijkstra算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/tlonline/article/details/45691923
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