求最短路径问题之Dijkstra算法（二）

（4）、Dijkstra算法求解实际问题
之前讲的是最基本的Dijkstra算法，那么平时考试笔试等遇到的题目肯定不会这么“裸”，更多时候会出现这样一种情况，即从起点到终点的最短距离最小的路径不止一条。
那么碰到这种两条以上可以达到最短距离的路径，题目就会给出一个第二标尺（第一标尺是距离），要求在所有最短路径中选择第二标尺最优的一条路径，而第二标尺常见的是以下三种出题方法或者其组合：

1. 给每条边在增加一个边权（比如说花费），然后要求在最短路径有多条时要求路径上的花费之和最小（当然如果边权是其它含义，也可以是最大）
2. 给每个点增加一个点权（例如每个城市能收集到的物资），然后在最短路径有多条时要求路径上的点权之和最大（当然如果是其它含义，也可以是最小）
3. 直接问有多少条最短路径

解决思路：都只需要增加一个数组来存放新增的边权或点权或最短路径条数，然后在Dijkstra算法中修改优化d[v]的那个步骤即可，其它部分不需要改动。
如下：

1. 新增边权。以新增的边权代表花费为例，用cost[u][v]表示u->v的花费（由题目输入），并增加一个数组c[]，令从起点s到达顶点u的最少花费为c[u]，初始化时只有c[s]=0，其余均为INF（一个很大的值），这样就可以在更新d[v]时更新c[v]. 代码如下：

for(int v=0; v<n; v++)
{
     if(vis[v]==false && G[u][v]!=INF)
     {
          if(d[u]+G[u][v] < d[v])
          {
               d[v] = d[u]+G[u][v];
               c[v] = c[u] + cost[u][v]; 
          }
          else if(d[u]+G[u][v] == d[v] && c[u]+cost[u][v] < c[v])
               c[v]=c[u]+cost[u][v];          //最短距离相等时看能都使c[v]更优
     }
}

1. 新增点权。以新增的点权代表城市中能收集到的物资为例，用weight[u]表示城市u中的物资数目（由题目输入），并增加一个数组w[]，令起点s到达顶点u可以收集到的最大物资为w[u]，初始化时只有w[s]为weight[s],其余均为0，这样就可以在更新d[v]时更新w[v].代码如下：

for(int v=0; v<n; ++v)
{
     if(vis[v]==false && G[u][v]!=INF)
     {
          if(d[u]+G[u][v] < d[v])
          {
               d[v] = d[u]+G[u][v];
               w[v] = w[u]+weight[u][v]; 
          }
          else if(d[u]+G[u][v] == d[v] && w[u]+weight[u][v]>w[v])
               w[v] = w[u]+weight[u][v];
     }
}

1. 求最短路径条数。只需要添加一个数组num[]，令从起点s到达顶点u的最短路径条数为num[u]，初始化时只有num[s]=1，其余均为0，这样就可以在更新d[v]时让num[v]=num[u]，而当d[u]+G[u][v] =d[v]时，让num[v]+=num[u].代码如下：

for(int v=0; v<n; ++v)
{
     if(vis[v]==false && G[u][v]!=INF)
     {
          if(d[u]+G[u][v] < d[v])
          {
               d[v] = d[u]+G[u][v];
               num[v]=num[u];
          }
          else if(d[u]+G[u][v] == d[v] && w[u]+weight[u][v]>w[v])
               num[v]+=num[u];
     }
}

以上是不是很简单呢？？？