题目描述
想兑换100元钱，有1,2,5,10四种钱，问总共有多少兑换方法
递归解法
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100;
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};
int arr[N+1] = {1};
int coinExchangeRecursion(int n, int m) //递归方式实现，更好理解
{
if (n == 0) //跳出递归的条件
return 1;
if (n < 0 || m == 0)
return 0;
return (coinExchangeRecursion(n, m-1) + coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m));
//分为两种情况:换取当前面值的情况 + 没有换取当前面值的情况
}
int main()
{
int num=coinExchangeRecursion(N, 4);
cout<<num<<endl;
return 0;
}非递归解法
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100;
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};
int arr[N+1] = {1};
int coinExchange(int n) //非递归实现
{
int i, j;
//i从0 ~ 3 因为每个arr[j]都要有一次是假设兑换了dimes[i]，所以我们要遍历一次
for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++)
{
for (j = dimes[i]; j <= n; j++)
//求，arr[j]的时候，可以看出arr[j] = arr[j] + arr[j-dimes[i]]，
//对应着上面的递归方式：arr[j]就是coinExchangeRecursion(n, m-1)，
//arr[j-dimes[i]]就是coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m)
arr[j] += arr[j-dimes[i]];
}
return arr[n];
}
int main()
{
int num2=coinExchange(N);
cout<<num2<<endl;
return 0;
}下面写法更容易理解一些：
int coinExchange(int n) //非递归实现
{
int i, j;
for(i=1; i<=n; i++)
{
for (j=0; j<sizeof(dimes)/sizeof(int); i++)
{
if (i>=dimes[j])
arr[i] += arr[i-dimes[j]]
}
}
return arr[n];
}方法总结
动态规划的经典之处把大问题分解成几个小问题解决
递归算法:100元的换法:零钱中有此面值与零钱中没此面值的两种情况，注意递归结束的条件
非递归算法:换100的零钱,那么先从换1、2、……的零钱算起,这个算法,最好转换成台阶走法的问题来理解
仔细推理可以看出arr[j] = arr[j-dimes[0]] + arr[j-dimes[1]] + arr[j-dimes[2]] + arr[j-dimes[3]] (j-dimes[i]>=0)
#include<iostream>
#include<vector> //std::vector
#include <algorithm> //std::count
using namespace std;
const int N = 100;
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};
int arr[N+1] = {1};
vector<int> vv;
int coinExchangeRecursion(int n, int m) //递归方式实现，更好理解
{
if (n == 0) {
int i;
for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++) {
int cnt = count(vv.begin(), vv.end(), dimes[i]);
cout << dimes[i] << ": " << cnt << "\t";
}
cout << endl;
return 1;
} //跳出递归的条件
if (n < 0 || m == 0)
return 0;
vv.push_back(dimes[m-1]);
int yes = coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m);
vv.pop_back();
int no = coinExchangeRecursion(n, m-1);
return (no+yes);
//分为两种情况，如果没有换当前硬币，那么是多少？加上，如果换了当前硬币，总值减少，此时又是多少种兑换方法？
}
int coinExchange(int n) //非递归实现
{
int i, j;
for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++) //i从0 ~ 3 因为每个arr[j]都要有一次是假设兑换了dimes[i]，所以我们要遍历一次
{
for (j = dimes[i]; j <= n; j++)
//求，arr[j]的时候，可以看出arr[j] = arr[j] + arr[j-dimes[i]]，
//对应着上面的递归方式：arr[j]就是 coinExchangeRecursion(n, m-1)，
//arr[j-dimes[i]]就是coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m)
arr[j] += arr[j-dimes[i]];
}
return arr[n];
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int num=coinExchangeRecursion(N, 4);
cout<<num<<endl;
int num2=coinExchange(N);
cout<<num2<<endl;
return 0;
}参考:
